1.20 设男女两性人口之比为51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是-|||-色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人为男性的概率.

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与运用。需要结合全概率公式，计算在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

解题核心思路：

1. 明确问题：求在已知“随机抽取的人是色盲患者”的情况下，“此人为男性”的概率，即 $P(\text{男} \mid \text{色盲})$。
2. 应用贝叶斯定理：公式为
   $P(\text{男} \mid \text{色盲}) = \frac{P(\text{色盲} \mid \text{男}) \cdot P(\text{男})}{P(\text{色盲})}$
3. 计算全概率：$P(\text{色盲})$ 需通过全概率公式分解为男性和女性的色盲概率之和。

破题关键点：

• 正确代入比例数据：注意男女比例（51:49）和色盲率（男性5%，女性2.5%）。
• 单位统一：将比例转化为小数或分数形式进行计算。

步骤1：定义概率

• 男性比例：$P(\text{男}) = \frac{51}{100} = 0.51$
• 女性比例：$P(\text{女}) = \frac{49}{100} = 0.49$
• 男性色盲率：$P(\text{色盲} \mid \text{男}) = 0.05$
• 女性色盲率：$P(\text{色盲} \mid \text{女}) = 0.025$

步骤2：计算全概率 $P(\text{色盲})$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(\text{色盲}) &= P(\text{色盲} \mid \text{男}) \cdot P(\text{男}) + P(\text{色盲} \mid \text{女}) \cdot P(\text{女}) \\&= 0.05 \cdot 0.51 + 0.025 \cdot 0.49 \\&= 0.0255 + 0.01225 \\&= 0.03775\end{aligned}$

步骤3：代入贝叶斯定理
$\begin{aligned}P(\text{男} \mid \text{色盲}) &= \frac{0.05 \cdot 0.51}{0.03775} \\&= \frac{0.0255}{0.03775} \\&= \frac{2550}{3775} \quad (\text{分子分母同乘}100000) \\&= \frac{102}{151} \quad (\text{约分后})\end{aligned}$