三、计算题（共4题，40.0分）22.（计算题，10.0分）有三个工厂的灯泡供应市场，其中甲厂占50%，乙厂占30%，丙厂占20%，又甲、乙、丙厂灯泡的正品率分别为96%，90%，85%，如果买到一个次品灯泡，求此灯泡为乙厂生产的概率。

为了求买到一个次品灯泡且此灯泡为乙厂生产的概率，我们可以使用贝叶斯定理。首先，我们定义以下事件： - $ A_1 $：灯泡来自甲厂 - $ A_2 $：灯泡来自乙厂 - $ A_3 $：灯泡来自丙厂 - $ B $：灯泡是次品 根据题目，我们已知以下概率： - $ P(A_1) = 0.5 $ - $ P(A_2) = 0.3 $ - $ P(A_3) = 0.2 $ - $ P(\text{正品} \mid A_1) = 0.96 $ $\Rightarrow$ $ P(B \mid A_1) = 1 - 0.96 = 0.04 $ - $ P(\text{正品} \mid A_2) = 0.90 $ $\Rightarrow$ $ P(B \mid A_2) = 1 - 0.90 = 0.10 $ - $ P(\text{正品} \mid A_3) = 0.85 $ $\Rightarrow$ $ P(B \mid A_3) = 1 - 0.85 = 0.15 $ 我们需要求 $ P(A_2 \mid B) $，即在已知灯泡是次品的情况下，此灯泡为乙厂生产的概率。根据贝叶斯定理，我们有： \[ P(A_2 \mid B) = \frac{P(B \mid A_2) P(A_2)}{P(B)} \] 首先，我们需要计算 $ P(B) $，即灯泡是次品的总概率。根据全概率公式，我们有： \[ P(B) = P(B \mid A_1) P(A_1) + P(B \mid A_2) P(A_2) + P(B \mid A_3) P(A_3) \] 代入已知值，我们得到： \[ P(B) = (0.04 \times 0.5) + (0.10 \times 0.3) + (0.15 \times 0.2) \] \[ P(B) = 0.02 + 0.03 + 0.03 \] \[ P(B) = 0.08 \] 现在，我们可以代入贝叶斯定理的公式： \[ P(A_2 \mid B) = \frac{P(B \mid A_2) P(A_2)}{P(B)} = \frac{0.10 \times 0.3}{0.08} = \frac{0.03}{0.08} = \frac{3}{8} = 0.375 \] 因此，买到一个次品灯泡且此灯泡为乙厂生产的概率是 $\boxed{0.375}$。