题目

练习1 已知A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若r(A)=n，证明ABx=0与Bx=0同解.解题笔记

练习1 已知A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若$r(A)=n$，证明$ABx=0$与$Bx=0$同解. 解题笔记

题目解答

答案

设 $\alpha$ 为任意向量， 1. **若 $\alpha$ 是 $Bx = 0$ 的解**，则 $B\alpha = 0$，从而 $AB\alpha = A(B\alpha) = A0 = 0$，即 $\alpha$ 也是 $ABx = 0$ 的解。 2. **若 $\alpha$ 是 $ABx = 0$ 的解**，则 $AB\alpha = 0$，即 $A(B\alpha) = 0$。由于 $r(A) = n$，$A$ 的零空间仅含零向量，故 $B\alpha = 0$，说明 $\alpha$ 也是 $Bx = 0$ 的解。 综上，$ABx = 0$ 与 $Bx = 0$ 的解集相同，即两方程组同解。 \[ \boxed{ABx = 0 \text{ 与 } Bx = 0 \text{ 同解}} \]

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的秩与齐次线性方程组解的关系，以及矩阵乘法对解空间的影响。

解题核心思路：

  1. 同解方程组的定义：两个方程组同解当且仅当它们的解集完全相同。
  2. 关键条件：矩阵$A$的秩$r(A)=n$，说明$A$的列向量线性无关，其零空间仅含零向量。
  3. 双向证明：
    • 充分性：若$\alpha$是$Bx=0$的解，则$B\alpha=0$，从而$AB\alpha=0$，即$\alpha$也是$ABx=0$的解。
    • 必要性：若$\alpha$是$ABx=0$的解，则$A(B\alpha)=0$，结合$A$的零空间性质可得$B\alpha=0$，即$\alpha$是$Bx=0$的解。

证明步骤

充分性证明

假设$\alpha$是$Bx=0$的解，则$B\alpha=0$。
两边左乘矩阵$A$，得：
$AB\alpha = A(B\alpha) = A0 = 0$
因此，$\alpha$也是$ABx=0$的解。

必要性证明

假设$\alpha$是$ABx=0$的解，则$AB\alpha=0$，即：
$A(B\alpha) = 0$
由于$r(A)=n$，$A$的列向量线性无关，其零空间仅含零向量。因此，若$A(B\alpha)=0$，则必有：
$B\alpha = 0$
即$\alpha$是$Bx=0$的解。

结论：$ABx=0$与$Bx=0$的解集完全相同，故两方程组同解。