题目
两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积是(). A. 8R^3/3B. 14R^3/3C. 14R^3/3D. 16R^3/3
两个底圆半径都等于$R$的直交圆柱面所围成的立体的体积是().
- A. $8R^3/3$
- B. $14R^3/3$
- C. $14R^3/3$
- D. $16R^3/3$
题目解答
答案
设两个圆柱面方程为 $ x^2 + y^2 = R^2 $ 和 $ x^2 + z^2 = R^2 $。利用对称性，计算第一卦限部分体积 $ V_1 $，然后乘以8。
第一卦限体积为：
\[ V_1 = \iint_D \sqrt{R^2 - x^2} \, d\sigma \]
其中 $ D = \{ (x, y) \mid 0 \le y \le \sqrt{R^2 - x^2}, 0 \le x \le R \} $。
转换为迭代积分：
\[ V_1 = \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2 - x^2}} \sqrt{R^2 - x^2} \, dy \, dx = \int_0^R (R^2 - x^2) \, dx = \frac{2R^3}{3} \]
总_volume：
\[ V = 8V_1 = \frac{16R^3}{3} \]
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：确定圆柱面方程
两个圆柱面的方程分别为 $ x^2 + y^2 = R^2 $ 和 $ x^2 + z^2 = R^2 $。这两个圆柱面相互垂直，它们的交线形成一个立体。
步骤 2：利用对称性计算体积
由于立体关于三个坐标轴对称，我们只需计算第一卦限部分的体积 $ V_1 $，然后乘以8即可得到整个立体的体积。第一卦限体积为： \[ V_1 = \iint_D \sqrt{R^2 - x^2} \, d\sigma \] 其中 $ D = \{ (x, y) \mid 0 \le y \le \sqrt{R^2 - x^2}, 0 \le x \le R \} $。
步骤 3：转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ V_1 = \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2 - x^2}} \sqrt{R^2 - x^2} \, dy \, dx = \int_0^R (R^2 - x^2) \, dx = \frac{2R^3}{3} \]
步骤 4：计算总体积
总体积为： \[ V = 8V_1 = \frac{16R^3}{3} \]
两个圆柱面的方程分别为 $ x^2 + y^2 = R^2 $ 和 $ x^2 + z^2 = R^2 $。这两个圆柱面相互垂直，它们的交线形成一个立体。
步骤 2：利用对称性计算体积
由于立体关于三个坐标轴对称，我们只需计算第一卦限部分的体积 $ V_1 $，然后乘以8即可得到整个立体的体积。第一卦限体积为： \[ V_1 = \iint_D \sqrt{R^2 - x^2} \, d\sigma \] 其中 $ D = \{ (x, y) \mid 0 \le y \le \sqrt{R^2 - x^2}, 0 \le x \le R \} $。
步骤 3：转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ V_1 = \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2 - x^2}} \sqrt{R^2 - x^2} \, dy \, dx = \int_0^R (R^2 - x^2) \, dx = \frac{2R^3}{3} \]
步骤 4：计算总体积
总体积为： \[ V = 8V_1 = \frac{16R^3}{3} \]