(计算题) 求(本题10.0分)我的答案:未答题标准答案:令,则. 故 .

步骤 1：变量替换
令 $t = \sqrt{3 + x}$，则 $x = t^2 - 3$。这样，原积分可以转换为关于 $t$ 的积分。
步骤 2：计算微分
由于 $x = t^2 - 3$，则 $dx = 2t dt$。
步骤 3：代入并简化
将 $dx = 2t dt$ 代入原积分，得到 $\int \frac{1}{1 + \sqrt{3 + x}} dx = \int \frac{2t}{1 + t} dt$。
步骤 4：分部积分
将 $\int \frac{2t}{1 + t} dt$ 分解为 $\int \frac{2t}{1 + t} dt = 2 \int \frac{t}{1 + t} dt$。
步骤 5：进一步简化
将 $\frac{t}{1 + t}$ 分解为 $1 - \frac{1}{1 + t}$，则 $\int \frac{2t}{1 + t} dt = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t}) dt$。
步骤 6：积分计算
计算 $\int (1 - \frac{1}{1 + t}) dt = t - \ln|1 + t| + C$。
步骤 7：回代
将 $t = \sqrt{3 + x}$ 回代，得到 $2\sqrt{3 + x} - 2\ln|1 + \sqrt{3 + x}| + C$。