题目
生产某种商品需原料A和B，已知A单价为4，数量为x；B单价为2，数量为y.商品的产量为z=20-x^2+10x-2y^2+5y，商品的出售单价为10，求原料A和B的数量x和y各为多少时，商品获利最大.
生产某种商品需原料A和B，已知A单价为4，数量为x；B单价为2，数量为y.商品的产量为$z=20-x^{2}+10x-2y^{2}+5y$，商品的出售单价为10，求原料A和B的数量x和y各为多少时，商品获利最大.
题目解答
答案
设利润函数 $P(x, y)$，其中 $x$ 为原料A吨数，$y$ 为原料B吨数。
商品产量 $z = 20 - x^2 + 10x - 2y^2 + 5y$，
总销售收入 $10z = 200 - 10x^2 + 100x - 20y^2 + 50y$，
总成本 $4x + 2y$，
利润 $P(x, y) = 200 - 10x^2 + 96x - 20y^2 + 48y$。
求偏导数并令其为零：
\[
\frac{\partial P}{\partial x} = -20x + 96 = 0 \implies x = 4.8，
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -40y + 48 = 0 \implies y = 1.2。
\]
由二阶导数判别式知该点为最大值。
**答案：**
\[
\boxed{x = 4.8, y = 1.2}
\]