8.判断题iintlimits_(xy)f(x)f(y)dxdy=[intlimits_(a)^bf(x)dx]^2.A 对B 错A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查二重积分与单积分的关系，特别是当积分区域为矩形时，二重积分是否可以分解为两个单积分的乘积。

解题核心思路：

1. 明确积分区域：题目未明确说明积分区域，但通常默认二重积分的区域是$x$和$y$均从$a$到$b$的矩形区域。
2. 分离变量：若积分区域为矩形，则二重积分可分解为两个独立的单积分相乘，进而与右边的平方形式比较。

破题关键点：

• 二重积分的分解条件：只有当积分区域为矩形且被积函数可分离变量时，二重积分才能分解为单积分的乘积。

步骤1：假设积分区域为矩形
假设二重积分的区域是$x \in [a, b]$且$y \in [a, b]$的矩形区域$D$，则二重积分可表示为：
$\iint\limits_{D} f(x)f(y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} f(x)f(y) \, dx \, dy.$

步骤2：分离变量并分解积分
由于$f(x)$仅与$x$相关，$f(y)$仅与$y$相关，可将二重积分分解为两个单积分的乘积：
$\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} f(x)f(y) \, dx \, dy = \left( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right) \left( \int_{a}^{b} f(y) \, dy \right).$

步骤3：比较两边形式
右边的平方形式为：
$\left[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right]^2 = \left( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right) \left( \int_{a}^{b} f(y) \, dy \right).$
因此，当积分区域为矩形时，等式成立。