设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的-|||-时间X(以min计)是一个随机变量,其概率密度为-|||-leqslant xleqslant 1500,-|||-f(x)= ^2)x, dfrac (1)({(1500))^2}(x-3000) . , lt xleqslant 3000,-|||-其他.-|||-求E(X).

考查要点：本题主要考查连续型随机变量数学期望的计算，需要掌握分段概率密度函数的积分方法。

解题思路：

1. 确定概率密度函数的分段区间：题目中f(x)分为三个区间，需特别注意第二个区间（1500 < x ≤ 3000）的表达式可能存在排版问题，实际应为$\dfrac{3000 - x}{1500^2}$，以保证概率密度非负。
2. 分段积分计算期望：根据数学期望定义$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx$，将积分区间分为$[0, 1500]$和$(1500, 3000]$两部分，其余区间积分为0。
3. 简化计算：利用多项式积分公式分别计算两部分积分，最后求和。

步骤1：明确概率密度函数

根据题意，修正后的概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases}\dfrac{x}{1500^2}, & 0 \leq x \leq 1500, \\\dfrac{3000 - x}{1500^2}, & 1500 < x \leq 3000, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

步骤2：分段计算积分

第一部分积分（$0 \leq x \leq 1500$）：
$\int_{0}^{1500} x \cdot \dfrac{x}{1500^2} \, dx = \dfrac{1}{1500^2} \int_{0}^{1500} x^2 \, dx = \dfrac{1}{1500^2} \cdot \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^{1500} = \dfrac{1500^3}{3 \cdot 1500^2} = 500.$

第二部分积分（$1500 < x \leq 3000$）：
$\int_{1500}^{3000} x \cdot \dfrac{3000 - x}{1500^2} \, dx = \dfrac{1}{1500^2} \int_{1500}^{3000} (3000x - x^2) \, dx.$
计算积分：
$\int (3000x - x^2) \, dx = 1500x^2 - \dfrac{x^3}{3}.$
代入上下限：
$\left[ 1500 \cdot 3000^2 - \dfrac{3000^3}{3} \right] - \left[ 1500 \cdot 1500^2 - \dfrac{1500^3}{3} \right] = 2,250,000,000.$
因此：
$\dfrac{2,250,000,000}{1500^2} = 1000.$

步骤3：求和

$E(X) = 500 + 1000 = 1500.$