题目
13.求曲线 ) x=2e y=(e)^-t . 在 t=0 相应的点处的切线方程及法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求出曲线在 t=0 时的点
给定参数方程为 $x=2e^t$ 和 $y=e^{-t}$，当 $t=0$ 时，代入得到 $x=2e^0=2$ 和 $y=e^{-0}=1$。因此，曲线在 $t=0$ 时的点为 $(2,1)$。
步骤 2：求出曲线在 t=0 时的切线斜率
切线斜率可以通过求导得到。对 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 求导，得到 $x'=2e^t$ 和 $y'=-e^{-t}$。当 $t=0$ 时，$x'=2e^0=2$ 和 $y'=-e^{-0}=-1$。因此，切线斜率为 $\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'}=\frac{-1}{2}$。
步骤 3：求出切线方程
切线方程可以通过点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 得到，其中 $(x_1,y_1)$ 是切点，$m$ 是切线斜率。代入 $(2,1)$ 和 $m=-\frac{1}{2}$，得到 $y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$，整理得到 $x+2y-4=0$。
步骤 4：求出法线方程
法线斜率是切线斜率的负倒数，即 $m_{\text{法线}}=-\frac{1}{m_{\text{切线}}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$。法线方程可以通过点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 得到，代入 $(2,1)$ 和 $m=2$，得到 $y-1=2(x-2)$，整理得到 $2x-y-3=0$。
给定参数方程为 $x=2e^t$ 和 $y=e^{-t}$，当 $t=0$ 时，代入得到 $x=2e^0=2$ 和 $y=e^{-0}=1$。因此，曲线在 $t=0$ 时的点为 $(2,1)$。
步骤 2：求出曲线在 t=0 时的切线斜率
切线斜率可以通过求导得到。对 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 求导，得到 $x'=2e^t$ 和 $y'=-e^{-t}$。当 $t=0$ 时，$x'=2e^0=2$ 和 $y'=-e^{-0}=-1$。因此，切线斜率为 $\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'}=\frac{-1}{2}$。
步骤 3：求出切线方程
切线方程可以通过点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 得到，其中 $(x_1,y_1)$ 是切点，$m$ 是切线斜率。代入 $(2,1)$ 和 $m=-\frac{1}{2}$，得到 $y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$，整理得到 $x+2y-4=0$。
步骤 4：求出法线方程
法线斜率是切线斜率的负倒数，即 $m_{\text{法线}}=-\frac{1}{m_{\text{切线}}}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$。法线方程可以通过点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 得到，代入 $(2,1)$ 和 $m=2$，得到 $y-1=2(x-2)$，整理得到 $2x-y-3=0$。