曲面 arctan (y)/(1 + xz) = (pi)/(4) 在点 (-2,1,0) 处的切平面方程是 ______.

我们要求的是曲面
$\arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) = \frac{\pi}{4}$
在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。

第一步：理解曲面形式

这是一个隐式曲面，可以写成：
$F(x, y, z) = \arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) - \frac{\pi}{4} = 0$

我们要求的是这个曲面在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。

第二步：求梯度向量（法向量）

曲面在某点的切平面的法向量是该点处的梯度向量：
$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$

我们先写出 $F(x, y, z)$：
$F(x, y, z) = \arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) - \frac{\pi}{4}$

设：
$u = \frac{y}{1 + xz} \Rightarrow F = \arctan(u) - \frac{\pi}{4}$

我们用链式法则来求偏导数。

1. 对 $x$ 求偏导：

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{d}{du} \arctan(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$

先计算：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{1 + xz} \right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{1 + xz} \right) = y \cdot \left( -\frac{z}{(1 + xz)^2} \right) = -\frac{yz}{(1 + xz)^2}$

所以：
$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{yz}{(1 + xz)^2} \right)$

2. 对 $y$ 求偏导：

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( \frac{1}{1 + xz} \right)$

3. 对 $z$ 求偏导：

$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{y}{1 + xz} \right) = y \cdot \left( -\frac{x}{(1 + xz)^2} \right) = -\frac{xy}{(1 + xz)^2}$

所以：
$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{xy}{(1 + xz)^2} \right)$

第三步：代入点 $(-2, 1, 0)$

我们先计算在点 $(-2, 1, 0)$ 处的各个量：

• $x = -2$, $y = 1$, $z = 0$
• $u = \frac{y}{1 + xz} = \frac{1}{1 + (-2)(0)} = \frac{1}{1} = 1$
• $1 + u^2 = 1 + 1 = 2$

现在计算偏导数：

1. $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1 \cdot 0}{(1 + (-2)(0))^2} \right) = 0$

2. $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 + (-2)(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. $\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{(-2)(1)}{(1 + (-2)(0))^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = 1$

第四步：写出切平面方程

切平面方程为：
$\frac{\partial F}{\partial x}(x + 2) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - 1) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - 0) = 0$

代入偏导数值：

$0(x + 2) + \frac{1}{2}(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}(y - 1) + z = 0$

两边乘以 2 得：

$y - 1 + 2z = 0 \Rightarrow y + 2z = 1$

✅ 最终答案：

$\boxed{y + 2z = 1}$

这就是曲面在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。