[题目]求微分方程 |dx+y|x=cos x 的通解

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，核心是积分因子法的应用。

解题思路：

1. 识别方程类型：确认方程为一阶线性微分方程，标准形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 计算积分因子：积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$，此处 $P(x) = \frac{1}{x}$。
3. 方程变形：用积分因子乘以方程两边，将方程转化为全微分形式。
4. 积分求解：对变形后的方程两边积分，得到通解。

关键点：

• 积分因子的正确计算是破题关键。
• 分部积分法用于求解右侧的积分 $\int x \cos x \, dx$。

步骤1：确定方程形式

原方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \cos x$ 已经是一阶线性微分方程的标准形式，其中：

• $P(x) = \frac{1}{x}$
• $Q(x) = \cos x$

步骤2：计算积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln |x|} = x$

步骤3：方程两边乘以积分因子

原方程两边乘以 $x$：
$x \frac{dy}{dx} + y = x \cos x$
左边可整理为全微分形式：
$\frac{d}{dx}(x y) = x \cos x$

步骤4：积分求解

对两边积分：
$\int \frac{d}{dx}(x y) \, dx = \int x \cos x \, dx$
左边积分结果为 $x y$，右边使用分部积分法：
$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$
因此：
$x y = x \sin x + \cos x + C$

步骤5：解出 $y$

两边除以 $x$：
$y = \sin x + \frac{\cos x}{x} + \frac{C}{x}$