题目
设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P(|X-Y|≥6)≤（）。
设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X-Y|≥6}≤（）。
题目解答
答案
\\frac{1}{12}
解析
步骤 1：计算X-Y的数学期望
由于X和Y的数学期望都是2，所以X-Y的数学期望为E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 2 = 0。
步骤 2：计算X-Y的方差
根据方差的性质，Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2*Cov(X,Y)。
已知Var(X) = 1，Var(Y) = 4，相关系数ρ(X,Y) = 0.5。
Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * sqrt(Var(X) * Var(Y)) = 0.5 * sqrt(1 * 4) = 1。
所以Var(X-Y) = 1 + 4 - 2 * 1 = 3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量Z和任意正数k，有P{|Z - E(Z)| ≥ k} ≤ Var(Z) / k^2。
将Z = X-Y，E(Z) = 0，Var(Z) = 3，k = 6代入，得到P{|X-Y| ≥ 6} ≤ 3 / 6^2 = 1/12。
由于X和Y的数学期望都是2，所以X-Y的数学期望为E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 2 = 0。
步骤 2：计算X-Y的方差
根据方差的性质，Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2*Cov(X,Y)。
已知Var(X) = 1，Var(Y) = 4，相关系数ρ(X,Y) = 0.5。
Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * sqrt(Var(X) * Var(Y)) = 0.5 * sqrt(1 * 4) = 1。
所以Var(X-Y) = 1 + 4 - 2 * 1 = 3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量Z和任意正数k，有P{|Z - E(Z)| ≥ k} ≤ Var(Z) / k^2。
将Z = X-Y，E(Z) = 0，Var(Z) = 3，k = 6代入，得到P{|X-Y| ≥ 6} ≤ 3 / 6^2 = 1/12。