题目
4.以下说法是否正确?为什么?-|||-(1)对于任意给定的正数e,数列(an )中有无穷多项a n满足不等-|||-式 |(a)_(n)-a|lt varepsilon , 则 lim _(narrow infty )(a)_(n)=a;-|||-(2)设 lt b, 并且对于任意给定的正数 in (lt dfrac (b-a)(2)), 在邻域-|||-U(a;e)和U(b;e)中各含数列(an)中的无限多项,则(an)是发散数列;-|||-(3)收敛数列必有界,发散数列必无界;-|||-(4)无界数列一定是无穷大数列;-|||-(5)有界的发散数列一定不是单调数列;-|||-(6)若数列(anbn )收敛,则(an)和(bn)或者同时收敛,或者同时-|||-发散.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析(1)
数列{an}中有无穷多项满足 $|{a}_{n}-a|\lt \varepsilon $ ,但不保证所有项都满足,因此不能直接得出 $\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=a$ 。
步骤 2：分析(2)
由于在邻域U(a;ε)和U(b;ε)中各含数列{an}中的无限多项,且 $a\lt b$ ,说明数列{an}在a和b附近都有无限多项,因此{an}是发散数列。
步骤 3：分析(3)
收敛数列必有界是正确的,但发散数列不一定无界,例如数列{(-1)^n}是发散的,但它是有界的。
步骤 4：分析(4)
无界数列不一定是无穷大数列,例如数列{(-1)^n * n}是无界的,但不是无穷大数列。
步骤 5：分析(5)
有界的发散数列不一定不是单调数列,例如数列{(-1)^n}是有界的,但它是发散的,且不是单调数列。
步骤 6：分析(6)
若数列{anbn}收敛,则{an}和{bn}不一定同时收敛或同时发散,例如数列{an}={1/n}和{bn}={n}的乘积{anbn}收敛,但{an}收敛而{bn}发散。
数列{an}中有无穷多项满足 $|{a}_{n}-a|\lt \varepsilon $ ,但不保证所有项都满足,因此不能直接得出 $\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=a$ 。
步骤 2：分析(2)
由于在邻域U(a;ε)和U(b;ε)中各含数列{an}中的无限多项,且 $a\lt b$ ,说明数列{an}在a和b附近都有无限多项,因此{an}是发散数列。
步骤 3：分析(3)
收敛数列必有界是正确的,但发散数列不一定无界,例如数列{(-1)^n}是发散的,但它是有界的。
步骤 4：分析(4)
无界数列不一定是无穷大数列,例如数列{(-1)^n * n}是无界的,但不是无穷大数列。
步骤 5：分析(5)
有界的发散数列不一定不是单调数列,例如数列{(-1)^n}是有界的,但它是发散的,且不是单调数列。
步骤 6：分析(6)
若数列{anbn}收敛,则{an}和{bn}不一定同时收敛或同时发散,例如数列{an}={1/n}和{bn}={n}的乘积{anbn}收敛,但{an}收敛而{bn}发散。