题目

已知随机变量 X,Y 相互独立,X 在区间 ( 0 , 2 ) 上服从均匀分布,Y 的概率密度函数为:(x)=(x)= {e)^-dfrac (1{2)y},ygt 0 0,yleqslant 0 ?

已知随机变量 X,Y 相互独立,X 在区间 ( 0 , 2 ) 上服从均匀分布,Y 的概率密度函数为: $f_Y\left(y\right)=\left \{ ^{\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}y},y>0}_{0,y\le0} \right.$ ( 1 ) 求 X,Y 的联合概率密度 f (x,y)( 2 ) 求 P { Y ≤ X } ?

题目解答

答案

(1) $f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)=\left \{ ^{\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{2}y},0<x<2,y>0}_{0,其他} \right.$

(2) $P\left\{Y\le X\right\}=\int_0^2dx\int_0^x\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{2}y}dy=\int_0^2\frac{1}{2}\left(1-e^{-\frac{x}{2}}\right)dx=0.368$

解析

步骤 1：求 X,Y 的联合概率密度 f(x,y)
由于 X 和 Y 相互独立，X 在区间 (0, 2) 上服从均匀分布，Y 的概率密度函数为 $f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}y}$ 对于 $y > 0$，且 $f_Y(y) = 0$ 对于 $y \leq 0$。因此，X 的概率密度函数为 $f_X(x) = \frac{1}{2}$ 对于 $0 < x < 2$，且 $f_X(x) = 0$ 对于其他情况。所以，X 和 Y 的联合概率密度函数为 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。

步骤 2：求 P{Y ≤ X}
为了求 P{Y ≤ X}，我们需要计算联合概率密度函数在区域 $0 < x < 2$ 和 $0 < y < x$ 上的积分。即 $P{Y ≤ X} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{x} f(x,y) dy dx$。