小船从河边点 O 处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为 a，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为 h，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 k），求小船的航行路线。

设小船在任意时刻的位置为 $(x, y)$，其中 $y$ 为垂直于河岸的距离，$x$ 为沿河岸的距离。船速为 $a$，垂直于河岸，故 $\frac{dy}{dt} = a$。水流速度 $v_x = k y (h - y)$，沿河岸方向，故 $\frac{dx}{dt} = k y (h - y)$。
由 $\frac{dy}{dt} = a$，得 $t = \frac{y}{a}$。代入得：
$\frac{dx}{dy} = \frac{k y (h - y)}{a}$
积分得：
$x = \frac{k}{a} \int y (h - y) \, dy = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right) + C$
由初始条件 $y = 0$ 时 $x = 0$，得 $C = 0$。
答案：
$\boxed{x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right)}$
（或等价表示：$\boxed{x = \frac{k (3h y^2 - 2y^3)}{6a}}$）