题目

小船从河边点 O 处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为 a，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为 h，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 k），求小船的航行路线。

小船从河边点 $O$ 处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为 $a$，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为 $h$，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 $k$），求小船的航行路线。

题目解答

答案

设小船在任意时刻的位置为 $(x, y)$，其中 $y$ 为垂直于河岸的距离，$x$ 为沿河岸的距离。船速为 $a$，垂直于河岸，故 $\frac{dy}{dt} = a$。水流速度 $v_x = k y (h - y)$，沿河岸方向，故 $\frac{dx}{dt} = k y (h - y)$。
由 $\frac{dy}{dt} = a$，得 $t = \frac{y}{a}$。代入得：
$\frac{dx}{dy} = \frac{k y (h - y)}{a}$
积分得：
$x = \frac{k}{a} \int y (h - y) \, dy = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right) + C$
由初始条件 $y = 0$ 时 $x = 0$，得 $C = 0$。
答案：
$\boxed{x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right)}$
（或等价表示：$\boxed{x = \frac{k (3h y^2 - 2y^3)}{6a}}$）

解析

本题考查的是利用微积分知识求解物体在变力（速度）作用下的运动轨迹问题。解题的关键思路是先根据已知条件分别得出小船在垂直河岸和沿河岸方向的速度表达式，然后通过消去时间变量，得到位移之间的关系，最后利用初始条件确定积分常数。

  1. 建立速度方程：
    • 设小船在任意时刻的位置为$(x, y)$，其中$y$为垂直于河岸的距离，$x$为沿河岸的距离。
    • 已知船速为$a$，且船行方向始终与河岸垂直，根据速度的定义，垂直于河岸方向的速度$\frac{dy}{dt} = a$。
    • 又因为河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为$k$），所以水流速度$v_x = k y (h - y)$，而水流方向是沿河岸方向，那么沿河岸方向的速度$\frac{dx}{dt} = k y (h - y)$。
  2. 消去时间变量$t$：
    • 由$\frac{dy}{dt} = a$，对其进行变形可得$dt=\frac{dy}{a}$，两边同时积分$\int dt=\int\frac{dy}{a}$，得到$t = \frac{y}{a}$。
    • 根据复合函数求导法则$\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}$，将$\frac{dx}{dt} = k y (h - y)$和$\frac{dt}{dy}=\frac{1}{a}$代入可得：$\frac{dx}{dy} = \frac{k y (h - y)}{a}$。
  3. 求解$x$关于$y$的表达式：
    • 对$\frac{dx}{dy} = \frac{k y (h - y)}{a}$两边同时积分，即$x = \int\frac{k y (h - y)}{a}dy$。
    • 先将被积函数展开：$y(h - y)=hy - y^{2}$，则$x = \frac{k}{a} \int (hy - y^{2})dy$。
    • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right) + C$。
  4. 确定积分常数$C$：
    • 已知初始条件为$y = 0$时$x = 0$，将其代入$x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right) + C$中，得到$0=\frac{k}{a}(0 - 0)+C$，解得$C = 0$。
    • 所以小船的航行路线方程为$x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right)$，进一步通分可得$x = \frac{k (3h y^2 - 2y^3)}{6a}$。