设 f(x, y) 在有界光滑曲线 L 上连续，L 关于 x 轴对称，则有().A. 若 f(x, y)= f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0.B. 若 f(x, y)= -f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0.C. 若 f(x, y)= -f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0.D. 若 f(x, y)= f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0.

考查要点：本题主要考查曲线积分的对称性性质，特别是当积分曲线关于坐标轴对称时，如何利用函数的奇偶性简化积分计算。

解题核心思路：

1. 对称性分析：曲线$L$关于$x$轴对称，意味着对$L$上任意点$(x,y)$，其关于$x$轴的对称点$(x,-y)$也在$L$上。
2. 函数性质与积分关系：
   • 若函数$f(x,y)$关于$x$轴对称（即$f(x,y)=f(x,-y)$），则积分结果可能加倍而非为零。
   • 若函数$f(x,y)$关于$x$轴反对称（即$f(x,y)=-f(x,-y)$），则上下半部分的积分相互抵消，总积分为零。
3. 排除干扰项：选项C、D涉及关于$y$轴的对称性，但题目中曲线$L$的对称轴是$x$轴，因此相关性质不适用。

选项分析

选项A

若$f(x,y)=f(x,-y)$，则$f$关于$x$轴对称。此时，曲线$L$上下两部分的积分值相等，总积分应为两倍的上半部分积分，而非零。因此选项A错误。

选项B

若$f(x,y)=-f(x,-y)$，则$f$关于$x$轴反对称。对$L$上任意点$(x,y)$，其对称点$(x,-y)$处的函数值为$-f(x,y)$。积分时，上下两部分的贡献相互抵消，总积分为零。因此选项B正确。

选项C

若$f(x,y)=-f(-x,y)$，则$f$关于$y$轴反对称。但曲线$L$的对称轴是$x$轴，而非$y$轴，因此无法保证积分抵消。选项C错误。

选项D

若$f(x,y)=f(-x,y)$，则$f$关于$y$轴对称。同理，由于$L$的对称轴为$x$轴，积分值可能加倍而非零。选项D错误。