题目
【题目】已知函数y(x)由方程 x^3+y^3-3x+3y-2=0 确定,求y(x)的极值.
【题目】已知函数y(x)由方程 x^3+y^3-3x+3y-2=0 确定,求y(x)的极值.
题目解答
答案
【解析】解方程x3+y3-3x+3y-2-0两端同时对x求一阶导和二阶导,有3x^2+3y^2y^2-3+3y^2=0 6x+6y(y')^2+3y^2y''+3y''=0 在①式中令 y'=0 ,得x=-1或x=1,由极值的必要条件可知,极值可能点为z=-1,x=1当x分别取-1和1时,由 x^2+y^2-3x+3y-2=0 ,得y(-1)=0,y(1)=1将x--1,y(-1)=0及 y'(-1)=0 人②式,得 y''(-1)=2因为 y'(-1)=0 , y''(-1)=2x0 ,根据极值的第二充分条件,y(-1)=0是y(x)的极小值将x=1,y(1)=1及 y'(1)=0 代人②式,得 y''(1)=-1因为 y'(1)=0 , y''(1)=-10 根据极值的第二充分条件,y(1)=1是y(x)的极大值
解析
步骤 1：求一阶导数
对给定的方程 \(x^3 + y^3 - 3x + 3y - 2 = 0\) 两端同时对 \(x\) 求导，得到：
\[3x^2 + 3y^2y' - 3 + 3y' = 0\]
简化得到：
\[3x^2 + 3y^2y' + 3y' - 3 = 0\]
\[3x^2 + 3(y^2 + 1)y' - 3 = 0\]
\[y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}\]
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 \(y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}\) 再次对 \(x\) 求导，得到：
\[y'' = \frac{(-2x)(y^2 + 1) - (1 - x^2)(2yy')}{(y^2 + 1)^2}\]
\[y'' = \frac{-2x(y^2 + 1) - 2y(1 - x^2)y'}{(y^2 + 1)^2}\]
步骤 3：寻找极值点
由极值的必要条件，令 \(y' = 0\)，即：
\[\frac{1 - x^2}{y^2 + 1} = 0\]
解得 \(x = \pm 1\)。将 \(x = \pm 1\) 代入原方程 \(x^3 + y^3 - 3x + 3y - 2 = 0\)，解得 \(y(-1) = 0\)，\(y(1) = 1\)。
步骤 4：判断极值点
将 \(x = -1\)，\(y(-1) = 0\)，\(y'(-1) = 0\) 代入二阶导数公式，得到 \(y''(-1) = 2\)，因为 \(y'(-1) = 0\)，\(y''(-1) = 2 > 0\)，根据极值的第二充分条件，\(y(-1) = 0\) 是 \(y(x)\) 的极小值。
将 \(x = 1\)，\(y(1) = 1\)，\(y'(1) = 0\) 代入二阶导数公式，得到 \(y''(1) = -1\)，因为 \(y'(1) = 0\)，\(y''(1) = -1 < 0\)，根据极值的第二充分条件，\(y(1) = 1\) 是 \(y(x)\) 的极大值。
对给定的方程 \(x^3 + y^3 - 3x + 3y - 2 = 0\) 两端同时对 \(x\) 求导，得到：
\[3x^2 + 3y^2y' - 3 + 3y' = 0\]
简化得到：
\[3x^2 + 3y^2y' + 3y' - 3 = 0\]
\[3x^2 + 3(y^2 + 1)y' - 3 = 0\]
\[y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}\]
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 \(y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}\) 再次对 \(x\) 求导，得到：
\[y'' = \frac{(-2x)(y^2 + 1) - (1 - x^2)(2yy')}{(y^2 + 1)^2}\]
\[y'' = \frac{-2x(y^2 + 1) - 2y(1 - x^2)y'}{(y^2 + 1)^2}\]
步骤 3：寻找极值点
由极值的必要条件，令 \(y' = 0\)，即：
\[\frac{1 - x^2}{y^2 + 1} = 0\]
解得 \(x = \pm 1\)。将 \(x = \pm 1\) 代入原方程 \(x^3 + y^3 - 3x + 3y - 2 = 0\)，解得 \(y(-1) = 0\)，\(y(1) = 1\)。
步骤 4：判断极值点
将 \(x = -1\)，\(y(-1) = 0\)，\(y'(-1) = 0\) 代入二阶导数公式，得到 \(y''(-1) = 2\)，因为 \(y'(-1) = 0\)，\(y''(-1) = 2 > 0\)，根据极值的第二充分条件，\(y(-1) = 0\) 是 \(y(x)\) 的极小值。
将 \(x = 1\)，\(y(1) = 1\)，\(y'(1) = 0\) 代入二阶导数公式，得到 \(y''(1) = -1\)，因为 \(y'(1) = 0\)，\(y''(1) = -1 < 0\)，根据极值的第二充分条件，\(y(1) = 1\) 是 \(y(x)\) 的极大值。