【题目】已知函数y(x)由方程 x^3+y^3-3x+3y-2=0 确定,求y(x)的极值.

考查要点：本题主要考查隐函数求导及极值的判定方法。
解题思路：

1. 隐函数求导：对给定方程两边同时关于$x$求一阶导数和二阶导数，得到关于$y'$和$y''$的表达式。
2. 求驻点：令$y'=0$，结合原方程解出可能的极值点$(x, y)$。
3. 二阶导数检验：将驻点代入二阶导数表达式，根据$y''$的符号判断极值类型。

关键点：

• 隐函数求导时需注意链式法则，正确处理$y$对$x$的导数。
• 极值的必要条件是$y'=0$，但需通过二阶导数进一步验证。

1. 求一阶导数

对原方程 $x^3 + y^3 - 3x + 3y - 2 = 0$ 两边关于$x$求导：
$3x^2 + 3y^2 y' - 3 + 3y' = 0$
整理得：
$y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}$

2. 求驻点

令$y' = 0$，则分子$1 - x^2 = 0$，解得$x = \pm 1$。
将$x$代入原方程求对应的$y$：

• 当$x = -1$时：
  $(-1)^3 + y^3 - 3(-1) + 3y - 2 = 0 \implies y^3 + 3y = 0 \implies y = 0$
• 当$x = 1$时：
  $1^3 + y^3 - 3(1) + 3y - 2 = 0 \implies y^3 + 3y - 4 = 0 \implies y = 1$
  因此，驻点为$(-1, 0)$和$(1, 1)$。

3. 求二阶导数

对一阶导数方程再次求导：
$6x + 6y(y')^2 + 3y^2 y'' + 3y'' = 0$
整理得：
$y'' = \frac{-2x - 2y(y')^2}{y^2 + 1}$

4. 判断极值类型

• 在$(-1, 0)$处：
  代入$y' = 0$，得：
  $y'' = \frac{-2(-1)}{0^2 + 1} = 2 > 0$
  因此，$y(-1) = 0$是极小值。
• 在$(1, 1)$处：
  代入$y' = 0$，得：
  $y'' = \frac{-2(1)}{1^2 + 1} = -1 < 0$
  因此，$y(1) = 1$是极大值。