题目
求微分方程(1+(x)^2)y'+2xy=x的通解.(7分)
求微分方程
的通解.(7分)
题目解答
答案
解:方程变形为一阶线性微分方程:
………….. 
1) 首先解该方程对应的齐次方程:
,分离变量得
,从而有
2) 令
,把相关量代人方程,即得
,从而得
。所以上述微分方程的通解为
.
说明:也可以直接分离变量求解。
解析
步骤 1：将方程变形为一阶线性微分方程
原方程$(1+{x}^{2})y'+2xy=x$可以变形为$y'+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}y=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$，这是一个一阶线性微分方程的形式$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}$，$Q(x)=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：求解对应的齐次方程
对应的齐次方程为$y'+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}y=0$。分离变量得$\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}dx$。积分得$\ln|y|=-\ln|1+{x}^{2}|+C$，即$y=\dfrac{C}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：求解非齐次方程
设$y=\dfrac{u(x)}{1+{x}^{2}}$，代入原方程得$\dfrac{u'(x)}{1+{x}^{2}}=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$，从而$u'(x)=x$。积分得$u(x)=\dfrac{1}{2}{x}^{2}+C$。因此，原方程的通解为$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}{x}^{2}+C}{1+{x}^{2}}$。
原方程$(1+{x}^{2})y'+2xy=x$可以变形为$y'+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}y=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$，这是一个一阶线性微分方程的形式$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}$，$Q(x)=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：求解对应的齐次方程
对应的齐次方程为$y'+\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}y=0$。分离变量得$\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2x}{1+{x}^{2}}dx$。积分得$\ln|y|=-\ln|1+{x}^{2}|+C$，即$y=\dfrac{C}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：求解非齐次方程
设$y=\dfrac{u(x)}{1+{x}^{2}}$，代入原方程得$\dfrac{u'(x)}{1+{x}^{2}}=\dfrac{x}{1+{x}^{2}}$，从而$u'(x)=x$。积分得$u(x)=\dfrac{1}{2}{x}^{2}+C$。因此，原方程的通解为$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}{x}^{2}+C}{1+{x}^{2}}$。