题目

齐次线性方程组 ) lambda (x)_(1)-9(x)_(2)=0 -4(x)_(1)+6(x)_(2)=0 . =________

齐次线性方程组 $\left \{ ^{\lambda x_1 -9 x_2=0}_{-4 x_1+6 x_2=0} \right.$ 有非零解,则 $\lambda$ =________

题目解答

答案

齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数。

本题系数矩阵为 $A=\begin{pmatrix} \lambda&-9 \newline -4&6 \end{pmatrix}$ ,未知数个数为2，故 $R\left(A\right)<2$ ，矩阵A不可逆，故 $\left|A\right|=0$

$\begin{vmatrix} \lambda&-9 \newline -4&6 \end{vmatrix}=0,6\lambda-(-9)\cdot(-4)=0$

可得 $\lambda$ 的值为6.

故填：6.

解析

步骤 1：确定齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数。对于本题，未知数个数为2，因此系数矩阵的秩必须小于2，即系数矩阵不可逆，行列式为0。

步骤 2：写出系数矩阵
系数矩阵为$A=\begin{pmatrix} \lambda & -9 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$。

步骤 3：计算行列式并求解
行列式$|A|=\lambda \cdot 6 - (-9) \cdot (-4) = 6\lambda - 36$。要使方程组有非零解，行列式必须为0，即$6\lambda - 36 = 0$。解得$\lambda = 6$。