下三角行列式、上三角行列式、对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。

考查要点：本题主要考查学生对三角行列式（上三角、下三角）和对角行列式性质的理解，特别是它们的行列式值与主对角线元素乘积的关系。

解题核心思路：

1. 三角行列式的定义：上三角行列式（主对角线下方元素全为0）、下三角行列式（主对角线上方元素全为0）、对角行列式（所有非对角线元素为0）。
2. 行列式的展开规律：对于三角行列式，其行列式的值等于主对角线元素的乘积。这一结论可以通过展开法或分治法推导得出。
3. 关键结论：无论行列式是上三角、下三角还是对角形式，只要满足三角结构，其行列式的值始终等于主对角线元素的乘积。

破题关键点：

• 明确三角行列式的结构特点，理解其行列式计算的简化规则。
• 掌握行列式展开的基本方法，能够通过具体展开验证结论。

步骤1：理解三角行列式的结构

• 上三角行列式：形如
  $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$
  主对角线下方元素全为0。
• 下三角行列式：形如
  $\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$
  主对角线上方元素全为0。
• 对角行列式：形如
  $\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$
  所有非对角线元素为0。

步骤2：行列式的展开规律

• 上三角行列式：按第一行展开，仅有一个非零项，即 $a_{11} \cdot M_{11}$，其中 $M_{11}$ 是余子式（仍为上三角行列式）。递推可知，行列式值为 $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$。
• 下三角行列式：同理，按第一列展开，仅有一个非零项，递推后结果相同。
• 对角行列式：直接展开，所有非对角线元素为0，行列式值为 $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$。

结论：三种行列式的值均等于主对角线元素的乘积，题目描述正确。