某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m^2，问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ h-|||-x

考查要点：本题主要考查利用导数求解实际问题中的最小值问题，涉及几何模型的建立、函数关系的推导以及导数的应用。

解题核心思路：

1. 建立几何模型：根据题意，截面由矩形和半圆组成，明确各部分的尺寸关系。
2. 建立面积方程：利用面积公式联立矩形和半圆的面积，消去变量$h$，得到关于$x$的表达式。
3. 构造周长函数：将周长表示为$x$的函数，注意周长包含底边$x$、两个矩形高$h$和半圆弧长。
4. 求导找极值：对周长函数求导，通过导数为零找到临界点，并利用二阶导数验证最小值。

破题关键点：

• 正确理解周长组成：周长包含底边$x$、两个高$h$和半圆弧长。
• 消元法处理变量：通过面积方程消去$h$，将周长转化为仅关于$x$的函数。
• 导数运算与极值判定：准确求导并验证极值点的性质。

1. 建立几何模型与面积方程

设矩形高为$h$，底宽为$x$，则：

• 矩形面积：$xh$
• 半圆面积：$\frac{1}{2} \cdot \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{\pi x^2}{8}$

根据总面积为$5 \, \text{m}^2$，得方程：
$xh + \frac{\pi x^2}{8} = 5 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8}$

2. 构造周长函数

截面周长$S$由以下部分组成：

• 底边$x$
• 两个矩形高$2h$
• 半圆弧长$\frac{\pi x}{2}$

因此，周长函数为：
$S = x + 2h + \frac{\pi x}{2}$

将$h$代入得：
$S = x + 2\left( \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8} \right) + \frac{\pi x}{2} = x + \frac{\pi}{4}x + \frac{10}{x}$

3. 求导找极值点

对$S$关于$x$求导：
$S' = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{10}{x^2}$

令$S' = 0$，解得：
$x^2 = \frac{10}{1 + \frac{\pi}{4}} = \frac{40}{4 + \pi} \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{\frac{40}{4 + \pi}}$

4. 验证极值性质

二阶导数为：
$S'' = \frac{20}{x^3} > 0 \quad (\text{当} \, x > 0)$

因二阶导数恒正，故$x = \sqrt{\frac{40}{4 + \pi}}$为极小值点，即最小值点。