题目
n阶行列式的每一项除正负号外,都是该行列式中的不同行不同列的n个元素的乘积.A. 正确B. 错误
n阶行列式的每一项除正负号外,都是该行列式中的不同行不同列的n个元素的乘积.
- A. 正确
- B. 错误
题目解答
答案
A
解析
考查要点:本题主要考查对n阶行列式展开式的基本结构的理解,特别是对行列式项的组成元素的选取规则的掌握。
解题核心思路:
行列式的展开式中,每一项的构成必须满足不同行且不同列的元素相乘,且每个元素来自唯一的一行和一列。这是由行列式定义中的排列与逆序概念决定的。
破题关键点:
- 排列的定义:行列式的展开项对应于所有可能的排列,每个排列对应选取不同行不同列的元素。
- 元素的唯一性:每个乘积项中的元素必须覆盖所有行和所有列,且不重复。
- 符号规则:正负号由排列的奇偶性决定,但题目中仅关注元素的选取规则,与符号无关。
行列式的展开式由若干项组成,每一项的形式为:
$(-1)^{\tau(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}$
其中,$\sigma$ 是一个排列,$\tau(\sigma)$ 是排列的逆序数。
关键分析:
- 排列的性质:排列 $\sigma$ 确保选取的元素 $a_{i\sigma(i)}$ 满足不同行不同列。
- 每个元素 $a_{i\sigma(i)}$ 的行索引 $i$ 是唯一的,列索引 $\sigma(i)$ 也是唯一的。
- 乘积项的构成:每个乘积项由 $n$ 个元素相乘,且这些元素分别来自不同的行和不同的列。
- 符号的作用:正负号由 $(-1)^{\tau(\sigma)}$ 决定,但题目中“除正负号外”的部分仅关注元素的乘积,因此符号不影响判断。
综上,题目中的描述正确。