1.当x→0时，下列变量中与x²等价的无穷小量是（）A. 1-cos xB. sqrt(x)+x^2C. e^x-1D. Ln(1+x).sin x

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判断，需要掌握常见函数的泰勒展开式及无穷小量阶的比较方法。

解题核心思路：

1. 等价无穷小的定义：若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \to 0$ 时为等价无穷小。
2. 泰勒展开法：将各选项中的函数展开为泰勒多项式，保留到二次项，比较主部是否与 $x^2$ 相同。
3. 极限计算法：直接计算各选项与 $x^2$ 的比值极限是否为1。

破题关键点：

• 选项A：利用 $\cos x$ 的展开式，主部为 $\frac{x^2}{2}$，与 $x^2$ 的比值极限为 $\frac{1}{2}$。
• 选项B：$\sqrt{x}$ 的阶低于 $x^2$，整体主部为 $\sqrt{x}$，比值极限为无穷大。
• 选项C：$e^x -1$ 的主部为 $x$，比值极限为无穷大。
• 选项D：$\ln(1+x)$ 和 $\sin x$ 的乘积主部为 $x^2$，比值极限为1。

选项分析

A. $1 - \cos x$

$\cos x$ 的泰勒展开为 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2).$
计算比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \neq 1.$
结论：不等价。

B. $\sqrt{x} + x^2$

当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{x}$ 的阶为 $x^{1/2}$，远低于 $x^2$ 的阶。整体主部为 $\sqrt{x}$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x} + x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^{3/2}} + 1 \right) = +\infty.$
结论：不等价。

C. $e^x - 1$

$e^x$ 的泰勒展开为 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).$
计算比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \right) = +\infty.$
结论：不等价。

D. $\ln(1+x) \cdot \sin x$

$\ln(1+x)$ 和 $\sin x$ 的泰勒展开分别为：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
乘积展开后主部为：
$\ln(1+x) \cdot \sin x = x \cdot x + o(x^2) = x^2 + o(x^2).$
计算比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) \cdot \sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1.$
结论：等价。