题目
设一射手每次击中目标的概率0.7，射击进行到击中目标两次为止。记X为第一次中目标所进行的射击次数，Y为总射击次数.(1)求(X,Y)的分布律 ; (2)分别求(X,Y)于X和关于Y的边缘分布律.
设一射手每次击中目标的概率0.7，射击进行到击中目标两次为止。记X为第一次中目标所进行的射击次数，Y为总射击次数.(1)求(X,Y)的分布律 ; (2)分别求(X,Y)于X和关于Y的边缘分布律.
题目解答
答案
解：
(1)
=
(2)
(X,Y)于X的边缘分布律
(X,Y)于Y的边缘分布律
解析
步骤 1：确定(X,Y)的联合分布律
根据题意，X表示第一次击中目标的射击次数，Y表示总射击次数。由于射击进行到击中目标两次为止，因此Y的取值范围为2,3,4,...。对于给定的Y=n，X的取值范围为1,2,...,n-1。因为X和Y的取值范围已经确定，接下来需要计算P(X=m,Y=n)。
步骤 2：计算P(X=m,Y=n)
当X=m且Y=n时，意味着前m-1次射击未击中目标，第m次射击击中目标，之后的n-m次射击中有1次击中目标。因此，P(X=m,Y=n)的概率为${p}^{2}{(1-p)}^{n-2}$，其中p=0.7为每次击中目标的概率，1-p=0.3为每次未击中目标的概率。
步骤 3：计算边缘分布律
边缘分布律可以通过联合分布律求得。对于X的边缘分布律，需要对Y的所有可能取值求和；对于Y的边缘分布律，需要对X的所有可能取值求和。
根据题意，X表示第一次击中目标的射击次数，Y表示总射击次数。由于射击进行到击中目标两次为止，因此Y的取值范围为2,3,4,...。对于给定的Y=n，X的取值范围为1,2,...,n-1。因为X和Y的取值范围已经确定，接下来需要计算P(X=m,Y=n)。
步骤 2：计算P(X=m,Y=n)
当X=m且Y=n时，意味着前m-1次射击未击中目标，第m次射击击中目标，之后的n-m次射击中有1次击中目标。因此，P(X=m,Y=n)的概率为${p}^{2}{(1-p)}^{n-2}$，其中p=0.7为每次击中目标的概率，1-p=0.3为每次未击中目标的概率。
步骤 3：计算边缘分布律
边缘分布律可以通过联合分布律求得。对于X的边缘分布律，需要对Y的所有可能取值求和；对于Y的边缘分布律，需要对X的所有可能取值求和。