题目
求曲线+1=(x)^2与直线+1=(x)^2所围成的图形的面积..
求曲线
与直线
所围成的图形的面积.
题目解答
答案
解:如图6-10所示,求两曲线交点
得(-1,0)与(2,3).
因此
解析
步骤 1：求曲线和直线的交点
为了求出曲线$y+1={x}^{2}$与直线$y=x+1$所围成的图形的面积，首先需要找到这两条曲线的交点。为此，我们联立这两个方程：
$$
\left \{ \begin{matrix} y+1={x}^{2}\\ y=x+1 \end{matrix} \right.
$$
将$y=x+1$代入$y+1={x}^{2}$，得到$x+1+1={x}^{2}$，即${x}^{2}-x-2=0$。解这个二次方程，得到$x=-1$和$x=2$。因此，交点为$(-1,0)$和$(2,3)$。
步骤 2：计算所围成的图形的面积
所求面积可以通过计算两个函数在交点之间的积分差来得到。即：
$$
A = \int_{-1}^{2} (x+1) - (x^2 - 1) dx
$$
$$
A = \int_{-1}^{2} (x+1 - x^2 + 1) dx
$$
$$
A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx
$$
$$
A = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2}
$$
$$
A = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right)
$$
$$
A = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)
$$
$$
A = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)
$$
$$
A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{27}{6}
$$
$$
A = \frac{9}{2}
$$
为了求出曲线$y+1={x}^{2}$与直线$y=x+1$所围成的图形的面积，首先需要找到这两条曲线的交点。为此，我们联立这两个方程：
$$
\left \{ \begin{matrix} y+1={x}^{2}\\ y=x+1 \end{matrix} \right.
$$
将$y=x+1$代入$y+1={x}^{2}$，得到$x+1+1={x}^{2}$，即${x}^{2}-x-2=0$。解这个二次方程，得到$x=-1$和$x=2$。因此，交点为$(-1,0)$和$(2,3)$。
步骤 2：计算所围成的图形的面积
所求面积可以通过计算两个函数在交点之间的积分差来得到。即：
$$
A = \int_{-1}^{2} (x+1) - (x^2 - 1) dx
$$
$$
A = \int_{-1}^{2} (x+1 - x^2 + 1) dx
$$
$$
A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx
$$
$$
A = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2}
$$
$$
A = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right)
$$
$$
A = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)
$$
$$
A = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)
$$
$$
A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{27}{6}
$$
$$
A = \frac{9}{2}
$$