题目
602 由相交于三点(x 1,y1)(x2,y2)(x3,y3 )(其中 _(1)lt (x)_(2)lt (x)_(3)) 的两曲线 =f(x)gt -|||-0, =g(x)gt 0 所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为-|||-(A) (int )_({x)_(1)}^(x_{3)}pi ([ f(x)-g(x)] )^2dx . (B) (int )_({x)_(1)}^(x_{3)}pi [ (f)^2(x)-(g)^2(x)] dx.-|||-(C)(int )_(x)^(x_{3)}pi |(f)^2(x)-(g)^2(x)|dx (D) |(int )_({x)_(1)}^(x_{3)}pi [ (f)^2(x)-(g)^2(x)] dx|
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体体积的计算方法
旋转体体积的计算方法是通过积分来计算的，具体来说，是通过计算旋转体的横截面积的积分来得到旋转体的体积。对于绕x轴旋转的旋转体，横截面积是圆的面积，即 $\pi r^2$，其中r是圆的半径。对于由两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体，横截面积是两个圆的面积之差，即 $\pi [f^2(x) - g^2(x)]$。
步骤 2：考虑曲线的相对位置
在区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 上，曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的相对位置可能不同。如果在某个区间上 $f(x) \geq g(x)$，则横截面积为 $\pi [f^2(x) - g^2(x)]$；如果在某个区间上 $f(x) \leq g(x)$，则横截面积为 $\pi [g^2(x) - f^2(x)]$。因此，为了确保横截面积始终为正，我们需要取绝对值，即 $\pi |f^2(x) - g^2(x)|$。
步骤 3：计算旋转体体积
根据上述分析，旋转体体积的计算公式为 ${\int }_{{x}_{1}}^{{x}_{3}}\pi |{f}^{2}(x)-{g}^{2}(x)|dx$。这是因为我们需要考虑曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在整个区间 $[x_1, x_3]$ 上的相对位置，以确保横截面积始终为正。
旋转体体积的计算方法是通过积分来计算的，具体来说，是通过计算旋转体的横截面积的积分来得到旋转体的体积。对于绕x轴旋转的旋转体，横截面积是圆的面积，即 $\pi r^2$，其中r是圆的半径。对于由两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体，横截面积是两个圆的面积之差，即 $\pi [f^2(x) - g^2(x)]$。
步骤 2：考虑曲线的相对位置
在区间 $[x_1, x_2]$ 和 $[x_2, x_3]$ 上，曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的相对位置可能不同。如果在某个区间上 $f(x) \geq g(x)$，则横截面积为 $\pi [f^2(x) - g^2(x)]$；如果在某个区间上 $f(x) \leq g(x)$，则横截面积为 $\pi [g^2(x) - f^2(x)]$。因此，为了确保横截面积始终为正，我们需要取绝对值，即 $\pi |f^2(x) - g^2(x)|$。
步骤 3：计算旋转体体积
根据上述分析，旋转体体积的计算公式为 ${\int }_{{x}_{1}}^{{x}_{3}}\pi |{f}^{2}(x)-{g}^{2}(x)|dx$。这是因为我们需要考虑曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在整个区间 $[x_1, x_3]$ 上的相对位置，以确保横截面积始终为正。