3.lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x}.

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，以及对三角函数在无穷小量阶的处理能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\tan x$和$\sin x$都可以展开为泰勒多项式。通过展开并简化分子$\tan x - \sin x$，将其与分母$\sin^3 x$的展开式相除，即可快速求得极限值。

破题关键点：

1. 泰勒展开：正确写出$\tan x$和$\sin x$的三阶泰勒展开式。
2. 合并同类项：分子展开后，低阶项抵消，保留三次项。
3. 简化分母：利用$\sin x \sim x$近似，将分母$\sin^3 x$替换为$x^3$。

步骤1：展开$\tan x$和$\sin x$的泰勒多项式

• $\tan x = x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
• $\sin x = x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

步骤2：计算分子$\tan x - \sin x$
$\begin{aligned}\tan x - \sin x &= \left(x + \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right) - \left(x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)\right) \\&= \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3) \\&= \dfrac{1}{2}x^3 + o(x^3)\end{aligned}$

步骤3：处理分母$\sin^3 x$
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x$，因此：
$\sin^3 x \sim x^3$

步骤4：代入极限表达式
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \dfrac{1}{2}$