题目
3.lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({sin )^3x}.
3.
.
题目解答
答案
答案为：
利用泰勒展开式：
解析
步骤 1：利用泰勒展开式
首先，我们利用泰勒展开式来近似 $\tan x$ 和 $\sin x$。当 $x$ 接近于 $0$ 时，$\tan x$ 和 $\sin x$ 可以分别展开为：
$$
\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)
$$
$$
\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)
$$
步骤 2：代入展开式
将上述展开式代入原极限式中，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{{\sin }^{3}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(x+\dfrac {1}{3}{x}^{3}+o({x}^{3}))-(x-\dfrac {1}{6}{x}^{3}+o({x}^{3}))}{{\sin }^{3}x}
$$
步骤 3：化简并求极限
化简上述表达式，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{{\sin }^{3}x}
$$
由于当 $x$ 接近于 $0$ 时，$\sin x \sim x$，所以：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{{x}^{3}} = \dfrac {1}{2}
$$
首先，我们利用泰勒展开式来近似 $\tan x$ 和 $\sin x$。当 $x$ 接近于 $0$ 时，$\tan x$ 和 $\sin x$ 可以分别展开为：
$$
\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)
$$
$$
\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)
$$
步骤 2：代入展开式
将上述展开式代入原极限式中，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{{\sin }^{3}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(x+\dfrac {1}{3}{x}^{3}+o({x}^{3}))-(x-\dfrac {1}{6}{x}^{3}+o({x}^{3}))}{{\sin }^{3}x}
$$
步骤 3：化简并求极限
化简上述表达式，得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{{\sin }^{3}x}
$$
由于当 $x$ 接近于 $0$ 时，$\sin x \sim x$，所以：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{{x}^{3}} = \dfrac {1}{2}
$$