题目
设集合A=(1,3,5,7,9,11,13,15),A上的一个划分S=({1,15),(3,9,11,13),(5,7)}。试求由S导出的A上的等价关系R。
设集合A={1,3,5,7,9,11,13,15},A上的一个划分S={{1,15},{3,9,11,13},{5,7}}。试求由S导出的A上的等价关系R。
题目解答
答案
解:R={| x,y∈A∧x,y属于S的同一划分块}={ <1,1>,<3,3>,<5,5>,<7,7>,<9,9>,<11,11>,<13,13>,<15,15>,<1,15>,<15,1>,<3,9>,<9,3>,<3,11>,<11,3>,<3,13>,<13,3>,<9,11>,<11,9>,<9,13>,<13,9>,<11,13>,<13,11>,<5,7>,<7,5>}
解析
步骤 1：理解等价关系和划分
等价关系R是集合A上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。划分S是集合A的一个子集族，它满足每个元素属于且仅属于一个子集，且这些子集的并集等于A。
步骤 2：根据划分S构造等价关系R
根据划分S={{1,15},{3,9,11,13},{5,7}}，我们可以构造等价关系R，使得R中的元素对满足x和y属于S的同一划分块。具体来说，对于划分块{1,15}，R中包含<1,1>、<15,15>、<1,15>、<15,1>；对于划分块{3,9,11,13}，R中包含<3,3>、<9,9>、<11,11>、<13,13>、<3,9>、<9,3>、<3,11>、<11,3>、<3,13>、<13,3>、<9,11>、<11,9>、<9,13>、<13,9>、<11,13>、<13,11>；对于划分块{5,7}，R中包含<5,5>、<7,7>、<5,7>、<7,5>。
步骤 3：列出等价关系R
根据步骤2的分析，我们可以列出等价关系R的所有元素对。
等价关系R是集合A上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。划分S是集合A的一个子集族，它满足每个元素属于且仅属于一个子集，且这些子集的并集等于A。
步骤 2：根据划分S构造等价关系R
根据划分S={{1,15},{3,9,11,13},{5,7}}，我们可以构造等价关系R，使得R中的元素对满足x和y属于S的同一划分块。具体来说，对于划分块{1,15}，R中包含<1,1>、<15,15>、<1,15>、<15,1>；对于划分块{3,9,11,13}，R中包含<3,3>、<9,9>、<11,11>、<13,13>、<3,9>、<9,3>、<3,11>、<11,3>、<3,13>、<13,3>、<9,11>、<11,9>、<9,13>、<13,9>、<11,13>、<13,11>；对于划分块{5,7}，R中包含<5,5>、<7,7>、<5,7>、<7,5>。
步骤 3：列出等价关系R
根据步骤2的分析，我们可以列出等价关系R的所有元素对。