题目
设随机变量序列 X_1, X_2, ldots, X_n, ldots 独立同分布，均服从参数为 lambda > 1 的指数分布，记 Phi(x) 为标准正态分布的分布函数，则下列正确的是()。 A. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_(i)-n lambda)/(lambda sqrt(n)) leq x}=Phi(x)B. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_(i)-n lambda)/(sqrt(n lambda)) leq x}=Phi(x)C. lim _(n arrow infty) P(lambda sum_{i=1)^n X_(i)-n)/(sqrt(n)) leq x}=Phi(x)D. lim _(n arrow infty) P(sum_{i=1)^n X_(i)-lambda)/(sqrt(n lambda)) leq x}=Phi(x)
设随机变量序列 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 独立同分布，均服从参数为 $\lambda > 1$ 的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则下列正确的是()。
- A. $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
- B. $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
- C. $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^{n} X_{i}-n}{\sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
- D. $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
题目解答
答案
根据指数分布的性质，$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$，$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$。由中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时，
\[
\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}}
\]
的分布趋近于标准正态分布。对应选项，只有 C 符合该形式，即
\[
\lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \le x \right\} = \Phi(x).
\]
因此，正确答案为 $\boxed{C}$。
解析
步骤 1：计算期望和方差
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 独立同分布，且均服从参数为 $\lambda > 1$ 的指数分布，因此每个随机变量 $X_i$ 的期望和方差分别为：
\[ E(X_i) = \frac{1}{\lambda}, \quad D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}. \]
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时，随机变量序列的标准化和的分布趋近于标准正态分布。因此，我们有：
\[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}}. \]
步骤 3：确定正确的选项
根据上述标准化和的形式，我们发现只有选项 C 符合该形式，即：
\[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \le x \right\} = \Phi(x). \]
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 独立同分布，且均服从参数为 $\lambda > 1$ 的指数分布，因此每个随机变量 $X_i$ 的期望和方差分别为：
\[ E(X_i) = \frac{1}{\lambda}, \quad D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}. \]
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时，随机变量序列的标准化和的分布趋近于标准正态分布。因此，我们有：
\[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}}. \]
步骤 3：确定正确的选项
根据上述标准化和的形式，我们发现只有选项 C 符合该形式，即：
\[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \le x \right\} = \Phi(x). \]