题目
若^11+y=0通解为^11+y=0,求^11+y=0的特解
若
通解为
,求
的特解
题目解答
答案
由题意，已知
通解为
∴
∵
∴
解得，
∴的特解为：
解析
步骤 1：确定通解
已知${y}^{11}+y=0$的通解为$y={C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 2：求导
对通解求导得到$y'$，即$y'=({C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x)'={C}_{1}\cos x-{C}_{2}\sin x$。
步骤 3：应用初始条件
根据题目条件，$y(0)=2$和$y'(0)=1$，代入通解和其导数中求解${C}_{1}$和${C}_{2}$。
- 代入$y(0)=2$得到$2={C}_{1}\sin 0+{C}_{2}\cos 0$，即$2={C}_{2}$。
- 代入$y'(0)=1$得到$1={C}_{1}\cos 0-{C}_{2}\sin 0$，即$1={C}_{1}$。
步骤 4：确定特解
根据求得的${C}_{1}=1$和${C}_{2}=2$，代入通解$y={C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x$中得到特解。
已知${y}^{11}+y=0$的通解为$y={C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$是任意常数。
步骤 2：求导
对通解求导得到$y'$，即$y'=({C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x)'={C}_{1}\cos x-{C}_{2}\sin x$。
步骤 3：应用初始条件
根据题目条件，$y(0)=2$和$y'(0)=1$，代入通解和其导数中求解${C}_{1}$和${C}_{2}$。
- 代入$y(0)=2$得到$2={C}_{1}\sin 0+{C}_{2}\cos 0$，即$2={C}_{2}$。
- 代入$y'(0)=1$得到$1={C}_{1}\cos 0-{C}_{2}\sin 0$，即$1={C}_{1}$。
步骤 4：确定特解
根据求得的${C}_{1}=1$和${C}_{2}=2$，代入通解$y={C}_{1}\sin x+{C}_{2}\cos x$中得到特解。