题目
设级数sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n))的部分和(前n项和)为s_n，可知s_n=(sqrt(2)-sqrt(1))+(sqrt(3)-sqrt(2))+...+(sqrt(n+1)-sqrt(n))=sqrt(n+1)-1，则().A. 因为lim_(n to infty) s_n = infty，所以级数收敛B. 因为lim_(n to infty) s_n = infty，所以级数发散C. 因为lim_(n to infty) s_n = -1，所以级数收敛D. 因为lim_(n to infty) s_n = -1，所以级数发散
设级数$\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$的部分和(前n项和)为$s_n$，可知
$s_n=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1$，
则().
A. 因为$\lim_{n \to \infty} s_n = \infty$，所以级数收敛
B. 因为$\lim_{n \to \infty} s_n = \infty$，所以级数发散
C. 因为$\lim_{n \to \infty} s_n = -1$，所以级数收敛
D. 因为$\lim_{n \to \infty} s_n = -1$，所以级数发散
题目解答
答案
B. 因为$\lim_{n \to \infty} s_n = \infty$，所以级数发散
解析
步骤 1：计算部分和 $s_n$
部分和 $s_n$ 可表示为： \[ s_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{n+1} - 1 \]
步骤 2：求极限 $\lim_{n \to \infty} s_n$
求极限得： \[ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = \infty \]
步骤 3：判断级数的收敛性
由于部分和极限为无穷大，级数发散。
部分和 $s_n$ 可表示为： \[ s_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{n+1} - 1 \]
步骤 2：求极限 $\lim_{n \to \infty} s_n$
求极限得： \[ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = \infty \]
步骤 3：判断级数的收敛性
由于部分和极限为无穷大，级数发散。