) int dfrac (dx)(x({x)^6+4)}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算技巧，特别是通过分子拆分法将复杂分式转化为简单分式的组合，进而分别积分。

解题核心思路：
观察到分母为$x(x^6 +4)$，直接分解或代换较困难。关键技巧是将分子$1$拆分为$4 + x^6 - x^6$，从而将原积分拆分为两个更易处理的积分之和。拆分后，第一个积分直接积分，第二个积分通过代换法（令$u = x^6 +4$）完成。

破题关键点：

1. 分子拆分：通过构造$4 + x^6 - x^6$，使分式分解为$\frac{1}{4x}$和$-\frac{x^5}{4(x^6 +4)}$的组合。
2. 代换法应用：对第二个积分使用$u = x^6 +4$，简化计算。

步骤1：分子拆分
将原积分拆分为两个部分：
$\begin{aligned}\int \frac{dx}{x(x^6 +4)} &= \frac{1}{4} \int \frac{4 + x^6 - x^6}{x(x^6 +4)} dx \\&= \frac{1}{4} \int \left( \frac{4 + x^6}{x(x^6 +4)} - \frac{x^6}{x(x^6 +4)} \right) dx.\end{aligned}$

步骤2：简化分式

1. 第一部分：$\frac{4 + x^6}{x(x^6 +4)} = \frac{1}{x}$。
2. 第二部分：$\frac{x^6}{x(x^6 +4)} = \frac{x^5}{x^6 +4}$。

因此，原积分变为：
$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} dx - \frac{1}{4} \int \frac{x^5}{x^6 +4} dx.$

步骤3：分别积分

1. 第一积分：$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$。
2. 第二积分：令$u = x^6 +4$，则$du = 6x^5 dx$，即$x^5 dx = \frac{du}{6}$，得：
   $\int \frac{x^5}{x^6 +4} dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{6} \ln |u| = \frac{1}{6} \ln (x^6 +4).$

步骤4：合并结果
将两部分结果代入原式：
$\frac{1}{4} \ln |x| - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} \ln (x^6 +4) + C = \frac{1}{4} \ln |x| - \frac{1}{24} \ln (x^6 +4) + C.$