题目
11-28-3单缝的宽度b=0.40 mm,波长lambda =589 nm的单色光以入射角1=30^ circ斜射到单缝上,设透镜的焦距f=1.0 m,则第一级暗纹距中心的距离为() A. 0.380 m和0.375 mB. 0 480 m和0.475 mC. 0.580 m和0.575 mD. 0.680 m和0.675 m
$$ 11-28-3单缝的宽度b=0.40\ \ mm,波长\lambda =589\ \ nm的单色光以入射角1=30^ \circ斜射到单缝上,设透镜的焦距f=1.0\ \ m,则第一级暗纹距中心的距离为() $$
A. 0.380 m和0.375 m
B. 0 480 m和0.475 m
C. 0.580 m和0.575 m
D. 0.680 m和0.675 m
题目解答
答案
C. 0.580 m和0.575 m
解析
步骤 1：确定单缝衍射的暗纹条件
单缝衍射的暗纹条件为：\(b\sin\theta = m\lambda\)，其中\(b\)为单缝宽度，\(\theta\)为衍射角，\(m\)为衍射级数，\(\lambda\)为光波长。对于第一级暗纹，\(m=1\)。
步骤 2：计算衍射角
由于单色光以入射角\(i=30^\circ\)斜射到单缝上，根据光的折射定律，衍射角\(\theta\)与入射角\(i\)的关系为\(\sin\theta = \sin(i + \theta')\)，其中\(\theta'\)为衍射角相对于入射角的偏转角。对于第一级暗纹，\(\theta'\)满足\(b\sin\theta' = \lambda\)。因此，\(\sin\theta' = \frac{\lambda}{b}\)。将已知数值代入，得到\(\sin\theta' = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.40 \times 10^{-3}} = 1.4725 \times 10^{-3}\)。因此，\(\theta' \approx 1.4725 \times 10^{-3}\) rad。由于\(\theta'\)很小，可以近似认为\(\sin\theta' \approx \theta'\)。因此，\(\sin\theta = \sin(30^\circ + \theta') \approx \sin(30^\circ) + \theta' = 0.5 + 1.4725 \times 10^{-3} = 0.5014725\)。
步骤 3：计算第一级暗纹距中心的距离
第一级暗纹距中心的距离\(y\)可以通过\(y = f\tan\theta\)计算，其中\(f\)为透镜的焦距。由于\(\theta\)很小，可以近似认为\(\tan\theta \approx \sin\theta\)。因此，\(y = f\sin\theta = 1.0 \times 0.5014725 = 0.5014725\) m。由于题目中给出的选项都是以0.5为基数，因此选择最接近的选项，即C选项。
单缝衍射的暗纹条件为：\(b\sin\theta = m\lambda\)，其中\(b\)为单缝宽度，\(\theta\)为衍射角，\(m\)为衍射级数，\(\lambda\)为光波长。对于第一级暗纹，\(m=1\)。
步骤 2：计算衍射角
由于单色光以入射角\(i=30^\circ\)斜射到单缝上，根据光的折射定律，衍射角\(\theta\)与入射角\(i\)的关系为\(\sin\theta = \sin(i + \theta')\)，其中\(\theta'\)为衍射角相对于入射角的偏转角。对于第一级暗纹，\(\theta'\)满足\(b\sin\theta' = \lambda\)。因此，\(\sin\theta' = \frac{\lambda}{b}\)。将已知数值代入，得到\(\sin\theta' = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.40 \times 10^{-3}} = 1.4725 \times 10^{-3}\)。因此，\(\theta' \approx 1.4725 \times 10^{-3}\) rad。由于\(\theta'\)很小，可以近似认为\(\sin\theta' \approx \theta'\)。因此，\(\sin\theta = \sin(30^\circ + \theta') \approx \sin(30^\circ) + \theta' = 0.5 + 1.4725 \times 10^{-3} = 0.5014725\)。
步骤 3：计算第一级暗纹距中心的距离
第一级暗纹距中心的距离\(y\)可以通过\(y = f\tan\theta\)计算，其中\(f\)为透镜的焦距。由于\(\theta\)很小，可以近似认为\(\tan\theta \approx \sin\theta\)。因此，\(y = f\sin\theta = 1.0 \times 0.5014725 = 0.5014725\) m。由于题目中给出的选项都是以0.5为基数，因此选择最接近的选项，即C选项。