题目
13.求下列直线的夹角:-|||-(1) =dfrac {y-3)(-12)=dfrac (z-1)(3) 和 =dfrac {z-8)(-2) x=1 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} 5x-3y+3z-9=0\\ 3x-2y+z-1=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为两个平面法向量的叉积。平面 $5x-3y+3z-9=0$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(5,-3,3)$，平面 $3x-2y+z-1=0$ 的法向量为 $\vec{n_2}=(3,-2,1)$。因此，直线的方向向量为 $\vec{d_1}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} 2x+2y-z+23=0\\ 3x+8y+z-18=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为两个平面法向量的叉积。平面 $2x+2y-z+23=0$ 的法向量为 $\vec{n_3}=(2,2,-1)$，平面 $3x+8y+z-18=0$ 的法向量为 $\vec{n_4}=(3,8,1)$。因此，直线的方向向量为 $\vec{d_2}=\vec{n_3} \times \vec{n_4}$。
步骤 2：计算方向向量的叉积
$\vec{d_1}=\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(1)-(3)(-2))-\vec{j}((5)(1)-(3)(3))+\vec{k}((5)(-2)-(-3)(3)) = \vec{i}(3+6)-\vec{j}(5-9)+\vec{k}(-10+9) = 9\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}$
$\vec{d_2}=\vec{n_3} \times \vec{n_4} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((2)(1)-(-1)(8))-\vec{j}((2)(1)-(3)(-1))+\vec{k}((2)(8)-(2)(3)) = \vec{i}(2+8)-\vec{j}(2+3)+\vec{k}(16-6) = 10\vec{i}-5\vec{j}+10\vec{k}$
步骤 3：计算夹角
直线的夹角 $\theta$ 可以通过它们的方向向量的点积来计算。$\cos\theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (9)(10)+(4)(-5)+(-1)(10) = 90-20-10 = 60$
$|\vec{d_1}| = \sqrt{9^2+4^2+(-1)^2} = \sqrt{81+16+1} = \sqrt{98}$
$|\vec{d_2}| = \sqrt{10^2+(-5)^2+10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225}$
$\cos\theta = \frac{60}{\sqrt{98}\sqrt{225}} = \frac{60}{\sqrt{22050}} = \frac{60}{148.5} = 0.404$
$\theta = \arccos(0.404) = 66.4^\circ$
步骤 4：计算第二组直线的夹角
对于直线 $\dfrac {x-2}{4}=\dfrac {y-3}{-12}=\dfrac {z-1}{3}$，其方向向量为 $\vec{d_3}=(4,-12,3)$。
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {y-3}{-1}=\dfrac {z-8}{-2}\\ x=1.\end{matrix} \right.$，其方向向量为 $\vec{d_4}=(0,-1,-2)$。
$\vec{d_3} \cdot \vec{d_4} = (4)(0)+(-12)(-1)+(3)(-2) = 0+12-6 = 6$
$|\vec{d_3}| = \sqrt{4^2+(-12)^2+3^2} = \sqrt{16+144+9} = \sqrt{169} = 13$
$|\vec{d_4}| = \sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$\cos\theta = \frac{6}{13\sqrt{5}} = \frac{6}{13\sqrt{5}} = \frac{6}{13\sqrt{5}} = 0.21$
$\theta = \arccos(0.21) = 77.8^\circ$
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} 5x-3y+3z-9=0\\ 3x-2y+z-1=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为两个平面法向量的叉积。平面 $5x-3y+3z-9=0$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(5,-3,3)$，平面 $3x-2y+z-1=0$ 的法向量为 $\vec{n_2}=(3,-2,1)$。因此，直线的方向向量为 $\vec{d_1}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} 2x+2y-z+23=0\\ 3x+8y+z-18=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为两个平面法向量的叉积。平面 $2x+2y-z+23=0$ 的法向量为 $\vec{n_3}=(2,2,-1)$，平面 $3x+8y+z-18=0$ 的法向量为 $\vec{n_4}=(3,8,1)$。因此，直线的方向向量为 $\vec{d_2}=\vec{n_3} \times \vec{n_4}$。
步骤 2：计算方向向量的叉积
$\vec{d_1}=\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(1)-(3)(-2))-\vec{j}((5)(1)-(3)(3))+\vec{k}((5)(-2)-(-3)(3)) = \vec{i}(3+6)-\vec{j}(5-9)+\vec{k}(-10+9) = 9\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}$
$\vec{d_2}=\vec{n_3} \times \vec{n_4} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((2)(1)-(-1)(8))-\vec{j}((2)(1)-(3)(-1))+\vec{k}((2)(8)-(2)(3)) = \vec{i}(2+8)-\vec{j}(2+3)+\vec{k}(16-6) = 10\vec{i}-5\vec{j}+10\vec{k}$
步骤 3：计算夹角
直线的夹角 $\theta$ 可以通过它们的方向向量的点积来计算。$\cos\theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (9)(10)+(4)(-5)+(-1)(10) = 90-20-10 = 60$
$|\vec{d_1}| = \sqrt{9^2+4^2+(-1)^2} = \sqrt{81+16+1} = \sqrt{98}$
$|\vec{d_2}| = \sqrt{10^2+(-5)^2+10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225}$
$\cos\theta = \frac{60}{\sqrt{98}\sqrt{225}} = \frac{60}{\sqrt{22050}} = \frac{60}{148.5} = 0.404$
$\theta = \arccos(0.404) = 66.4^\circ$
步骤 4：计算第二组直线的夹角
对于直线 $\dfrac {x-2}{4}=\dfrac {y-3}{-12}=\dfrac {z-1}{3}$，其方向向量为 $\vec{d_3}=(4,-12,3)$。
对于直线 $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {y-3}{-1}=\dfrac {z-8}{-2}\\ x=1.\end{matrix} \right.$，其方向向量为 $\vec{d_4}=(0,-1,-2)$。
$\vec{d_3} \cdot \vec{d_4} = (4)(0)+(-12)(-1)+(3)(-2) = 0+12-6 = 6$
$|\vec{d_3}| = \sqrt{4^2+(-12)^2+3^2} = \sqrt{16+144+9} = \sqrt{169} = 13$
$|\vec{d_4}| = \sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$\cos\theta = \frac{6}{13\sqrt{5}} = \frac{6}{13\sqrt{5}} = \frac{6}{13\sqrt{5}} = 0.21$
$\theta = \arccos(0.21) = 77.8^\circ$