题目
设L为曲线y=ln x上从点（1,0）到点（e,1）的一段弧，则int_(L) (2y)/(x) , dx + x , dy = ( )A. -1B. 1C. eD. 0
设L为曲线$y=\ln x$上从点（1,0）到点（e,1）的一段弧，则$\int_{L} \frac{2y}{x} \, dx + x \, dy = (\quad)$
A. -1
B. 1
C. e
D. 0
题目解答
答案
C. e
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 $L$ 可以表示为 $y = \ln x$，其中 $x$ 从 $1$ 变化到 $e$。因此，$dy = \frac{1}{x}dx$。
步骤 2：代入并简化积分
将 $y = \ln x$ 和 $dy = \frac{1}{x}dx$ 代入原积分 $\int_{L} \frac{2y}{x} \, dx + x \, dy$，得到：
\[ \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + x \cdot \frac{1}{x} \right) dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + 1 \right) dx. \]
步骤 3：拆分积分
将积分拆分为两个部分：
\[ \int_{1}^{e} \frac{2\ln x}{x} dx + \int_{1}^{e} 1 dx. \]
步骤 4：计算第一个积分
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，积分限从 $0$ 到 $1$。因此，第一个积分变为：
\[ \int_{0}^{1} 2u du = 2 \int_{0}^{1} u du = 2 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1. \]
步骤 5：计算第二个积分
第二个积分直接计算：
\[ \int_{1}^{e} 1 dx = [x]_{1}^{e} = e - 1. \]
步骤 6：合并结果
将两个积分的结果合并：
\[ 1 + (e - 1) = e. \]
曲线 $L$ 可以表示为 $y = \ln x$，其中 $x$ 从 $1$ 变化到 $e$。因此，$dy = \frac{1}{x}dx$。
步骤 2：代入并简化积分
将 $y = \ln x$ 和 $dy = \frac{1}{x}dx$ 代入原积分 $\int_{L} \frac{2y}{x} \, dx + x \, dy$，得到：
\[ \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + x \cdot \frac{1}{x} \right) dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + 1 \right) dx. \]
步骤 3：拆分积分
将积分拆分为两个部分：
\[ \int_{1}^{e} \frac{2\ln x}{x} dx + \int_{1}^{e} 1 dx. \]
步骤 4：计算第一个积分
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，积分限从 $0$ 到 $1$。因此，第一个积分变为：
\[ \int_{0}^{1} 2u du = 2 \int_{0}^{1} u du = 2 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1. \]
步骤 5：计算第二个积分
第二个积分直接计算：
\[ \int_{1}^{e} 1 dx = [x]_{1}^{e} = e - 1. \]
步骤 6：合并结果
将两个积分的结果合并：
\[ 1 + (e - 1) = e. \]