题目
[题目]-|||-设 =sqrt (1+{x)^2} ,则 dy= __ ; ^n= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数 $y'$
给定函数 $y=\sqrt{1+x^2}$，我们首先求其导数 $y'$。根据链式法则，我们有：
$$
y' = \frac{d}{dx} \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
步骤 2：求微分 $dy$
微分 $dy$ 可以通过将导数 $y'$ 乘以 $dx$ 来得到：
$$
dy = y' dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx
$$
步骤 3：求二阶导数 $y''$
为了求二阶导数 $y''$，我们需要对 $y'$ 再次求导。首先，我们有：
$$
y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
对 $y'$ 求导，我们使用商的导数法则：
$$
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1+x^2} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}
$$
给定函数 $y=\sqrt{1+x^2}$，我们首先求其导数 $y'$。根据链式法则，我们有：
$$
y' = \frac{d}{dx} \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
步骤 2：求微分 $dy$
微分 $dy$ 可以通过将导数 $y'$ 乘以 $dx$ 来得到：
$$
dy = y' dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx
$$
步骤 3：求二阶导数 $y''$
为了求二阶导数 $y''$，我们需要对 $y'$ 再次求导。首先，我们有：
$$
y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
对 $y'$ 求导，我们使用商的导数法则：
$$
y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1+x^2} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}
$$