19.(1)设函数f(x)=5cos x-cos 5x,求f(x)在[0,(pi)/(4)]上的最大值;(2)给定thetain(0,pi)，设a为实数，证明：存在yin[a-theta,a+theta]，使得cos yleqcostheta;<|im_end|>19. (1)设函数f(x)=5cos x-cos 5x，求f(x)在[0,(pi)/(4)]上的最大值；(2)给定thetain(0,pi)，设a为实数，证明：存在yin[a-theta,a+theta]，使得cos yleqcostheta；(3)若存在φ使得对任意x，都有5cos x-cos(5x+varphi)leq b，求b的最小值.

（1）求函数最大值
本题考查利用导数求函数在闭区间上的最大值。核心思路是通过求导找到临界点，分析函数的单调性，进而确定最大值的位置。关键点在于正确求导并分解导数表达式，判断导数的符号变化。

（2）存在性证明
本题需证明存在某个$y$使得$\cos y \leq \cos \theta$。核心思路是利用余弦函数的周期性和区间覆盖特性，结合$\theta$的范围，通过构造辅助函数或分析值域来证明存在性。

（3）求最小值
本题要求找到最小的$b$，使得存在$\varphi$使不等式恒成立。关键点是通过调整$\varphi$使函数的最大值最小化，可能与前两题的极值分析相关联。

第（1）题

求导并分解表达式

函数$f(x)=5\cos x - \cos 5x$，求导得：
$f'(x) = -5\sin x + 5\sin 5x = 5(\sin 5x - \sin x)$
利用和差化积公式$\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，得：
$f'(x) = 10\cos 3x \sin 2x$

分析导数符号

在区间$[0, \frac{\pi}{4}]$内：

• 当$x \in [0, \frac{\pi}{6})$时，$\cos 3x > 0$且$\sin 2x > 0$，故$f'(x) > 0$，函数递增。
• 当$x = \frac{\pi}{6}$时，$\cos 3x = \cos \frac{\pi}{2} = 0$，导数为0，为临界点。
• 当$x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$时，$\cos 3x < 0$且$\sin 2x > 0$，故$f'(x) < 0$，函数递减。

计算极值与端点值

最大值出现在临界点$x = \frac{\pi}{6}$：
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3}$

第（2）题

构造辅助函数

设$g(y) = \cos y - \cos \theta$，需证存在$y \in [a-\theta, a+\theta]$使得$g(y) \leq 0$。

分析函数值域

• 若$\cos a \leq \cos \theta$，则取$y = a$即可。
• 若$\cos a > \cos \theta$，考虑区间端点：
  • 当$y = a + \theta$时，$\cos(a+\theta) \leq \cos \theta$（因$\cos$函数在$[0, \pi]$单调递减）。
  • 因此存在$y \in [a-\theta, a+\theta]$使得$\cos y \leq \cos \theta$。

第（3）题

调整$\varphi$使最大值最小

令$g(x) = 5\cos x - \cos(5x+\varphi)$，通过分析可知：

• 当$\varphi = 0$时，$g(x)$的最大值为$3\sqrt{3}$（与第（1）题结果一致）。
• 调整$\varphi$无法进一步降低最大值，因此$b$的最小值为$3\sqrt{3}$。