已知曲面z=4-x 2 -y 2 上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是（ ）。A. （1，-1，2）B. （-1，1，2）C. （1，1，2）D. （-1，-1，2）

考查要点：本题主要考查曲面在某点处的切平面方程及其法向量的求解，以及平面平行的条件。

解题核心思路：

1. 确定曲面的法向量：对于显函数形式的曲面$z = f(x, y)$，其法向量为$(-f_x, -f_y, 1)$。
2. 平面平行的条件：两平面平行当且仅当它们的法向量成比例。
3. 联立方程求解点坐标：通过法向量比例关系和曲面方程联立，确定点$P$的坐标。

破题关键点：

• 正确写出曲面的法向量表达式。
• 将法向量与给定平面的法向量建立比例关系，解出点$P$的$x$和$y$坐标。
• 代入曲面方程验证$z$坐标是否符合。

步骤1：求曲面的法向量

曲面方程为$z = 4 - x^2 - y^2$，计算偏导数：
$f_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -2x, \quad f_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -2y$
因此，曲面在点$P(x_0, y_0, z_0)$处的法向量为：
$\boldsymbol{n} = (-f_x, -f_y, 1) = (2x_0, 2y_0, 1)$

步骤2：平面平行条件

给定平面$2x + 2y + z - 1 = 0$的法向量为$\boldsymbol{m} = (2, 2, 1)$。两平面平行时，法向量成比例：
$(2x_0, 2y_0, 1) = k \cdot (2, 2, 1)$
解得：
$\begin{cases}2x_0 = 2k \\2y_0 = 2k \\1 = k\end{cases}$
由第三式得$k = 1$，代入前两式得：
$x_0 = 1, \quad y_0 = 1$

步骤3：确定点坐标

将$x_0 = 1$，$y_0 = 1$代入曲面方程：
$z_0 = 4 - (1)^2 - (1)^2 = 2$
因此，点$P$的坐标为$(1, 1, 2)$，对应选项C。