1.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为-|||-F(x,y)= ) 1-(2)^-x-(2)^-y+(2)^-x-y 0, .

考查要点：本题主要考查二维随机变量分布函数的应用，特别是如何利用分布函数计算特定区域的概率。

解题核心思路：
对于二维随机变量$(X,Y)$，概率$P\{a < X \leq b, c < Y \leq d\}$可通过分布函数$F(x,y)$的差分公式计算：
$P = F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c).$
关键点在于正确代入各顶点处的分布函数值，并注意变量的独立性可能简化计算。

破题关键：

1. 识别分布函数形式：题目中$F(x,y) = 1 - 2^{-x} - 2^{-y} + 2^{-x-y}$可分解为$(1 - 2^{-x})(1 - 2^{-y})$，说明$X$与$Y$独立，且各自服从相同的几何分布。
2. 应用差分公式：直接代入四个顶点$(2,5)$、$(1,5)$、$(2,3)$、$(1,3)$的分布函数值，计算差分即可。

根据差分公式，概率计算为：
$\begin{aligned}P\{1 < X \leq 2, 3 < Y \leq 5\} &= F(2,5) - F(1,5) - F(2,3) + F(1,3).\end{aligned}$

步骤1：计算各顶点处的分布函数值

1. $F(2,5)$：
   $F(2,5) = 1 - 2^{-2} - 2^{-5} + 2^{-2-5} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} = \frac{93}{128}.$
2. $F(1,5)$：
   $F(1,5) = 1 - 2^{-1} - 2^{-5} + 2^{-1-5} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = \frac{31}{64} = \frac{62}{128}.$
3. $F(2,3)$：
   $F(2,3) = 1 - 2^{-2} - 2^{-3} + 2^{-2+3} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} = \frac{21}{32} = \frac{84}{128}.$
4. $F(1,3)$：
   $F(1,3) = 1 - 2^{-1} - 2^{-3} + 2^{-1+3} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16} = \frac{56}{128}.$

步骤2：代入差分公式
$\begin{aligned}P &= \frac{93}{128} - \frac{62}{128} - \frac{84}{128} + \frac{56}{128} \\&= \frac{93 - 62 - 84 + 56}{128} \\&= \frac{3}{128}.\end{aligned}$