题目
练习 已知A=[a_(1),a_(2),...,a_(m)],B=[beta_(1),beta_(2),...,beta_(m)]且PA=B,其中P是可逆矩阵,若a_(1),a_(3),a_(5)线性相(无)关,则beta_(1),beta_(3),beta_(5)线性相(无)关.
练习 已知$A=[a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}]$,$B=[\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m}]$且PA=B,其中P是可逆矩阵,若$a_{1},a_{3},a_{5}$线性相(无)关,则$\beta_{1},\beta_{3},\beta_{5}$线性相(无)关.
题目解答
答案
已知 $ A = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m] $，$ B = [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m] $，且 $ PA = B $，其中 $ P $ 可逆。则 $ \beta_i = P\alpha_i $（$ i = 1, 2, \cdots, m $）。
考虑向量组 $ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_5 $ 和 $ \beta_1, \beta_3, \beta_5 $：
- **若 $ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_5 $ 线性相关**，存在不全为零的 $ k_1, k_2, k_3 $ 使得 $ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_5 = 0 $。左乘 $ P $ 得 $ k_1\beta_1 + k_2\beta_3 + k_3\beta_5 = 0 $，故 $ \beta_1, \beta_3, \beta_5 $ 线性相关。
- **若 $ \beta_1, \beta_3, \beta_5 $ 线性相关**，存在不全为零的 $ l_1, l_2, l_3 $ 使得 $ l_1\beta_1 + l_2\beta_3 + l_3\beta_5 = 0 $。左乘 $ P^{-1} $ 得 $ l_1\alpha_1 + l_2\alpha_3 + l_3\alpha_5 = 0 $，故 $ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_5 $ 线性相关。
**答案：** 若 $ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_5 $ 线性相（无）关，则 $ \beta_1, \beta_3, \beta_5 $ 线性相（无）关。
解析
考查要点：本题主要考查可逆矩阵对向量组线性相关性的保持性。关键在于理解矩阵乘法（特别是可逆矩阵作用）如何影响向量组的线性相关性。
核心思路：
- 可逆矩阵的性质：若向量组通过可逆矩阵变换后得到新向量组，则原向量组与新向量组的线性相关性完全一致。
- 关键推导：利用矩阵乘法的线性性质，将原向量组的线性组合关系通过可逆矩阵映射到新向量组，反之亦然。
已知 $PA = B$，其中 $P$ 可逆，因此 $\beta_i = P\alpha_i$（$i = 1, 2, \cdots, m$）。需分析 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$ 与 $\beta_1, \beta_3, \beta_5$ 的线性相关性关系。
正方向（$\alpha$ 组合 $\Rightarrow$ $\beta$ 组合）
- 假设 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$ 线性相关：
存在不全为零的 $k_1, k_2, k_3$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_5 = 0$。 - 左乘可逆矩阵 $P$：
$P(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_5) = k_1P\alpha_1 + k_2P\alpha_3 + k_3P\alpha_5 = k_1\beta_1 + k_2\beta_3 + k_3\beta_5 = 0.$
由于 $k_1, k_2, k_3$ 不全为零，故 $\beta_1, \beta_3, \beta_5$ 线性相关。
反方向（$\beta$ 组合 $\Rightarrow$ $\alpha$ 组合）
- 假设 $\beta_1, \beta_3, \beta_5$ 线性相关：
存在不全为零的 $l_1, l_2, l_3$，使得 $l_1\beta_1 + l_2\beta_3 + l_3\beta_5 = 0$。 - 左乘 $P^{-1}$：
$P^{-1}(l_1\beta_1 + l_2\beta_3 + l_3\beta_5) = l_1P^{-1}\beta_1 + l_2P^{-1}\beta_3 + l_3P^{-1}\beta_5 = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_3 + l_3\alpha_5 = 0.$
由于 $l_1, l_2, l_3$ 不全为零，故 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$ 线性相关。
结论：$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_5$ 与 $\beta_1, \beta_3, \beta_5$ 的线性相关性完全一致。