题目

1.求下列微分方程的通解：(1)xy'-yln y=0;

1.求下列微分方程的通解： (1)$xy'-y\ln y=0$;

题目解答

答案

将原方程 $xy' - y \ln y = 0$ 分离变量得
$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}.$
两边积分得
$\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{x},$
其中左边积分结果为 $\ln |\ln y|$，右边为 $\ln |x|$，故
$\ln |\ln y| = \ln |x| + C,$
消去对数得
$|\ln y| = C_1 |x|,$
其中 $C_1 = e^C$。去掉绝对值并整理得
$\ln y = Cx,$
其中 $C$ 为任意常数。
答案：
$\boxed{\ln y = Cx} \quad \text{或} \quad \boxed{y = e^{Cx}}$

解析

本题考查可分离变量的微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行分离变量，把含有$y$的项和$dy$放在等式一边，含有$x$的项和$dx$放在等式另一边，然后对等式两边分别进行积分，最后通过化简得到通解。

详细解答

  1. 分离变量：
    已知原方程$xy' - y \ln y = 0$，因为$y'=\frac{dy}{dx}$，所以原方程可化为$x\frac{dy}{dx}-y\ln y = 0$。
    移项可得$x\frac{dy}{dx}=y\ln y$，进一步变形为$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
  2. 两边积分：
    对$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$两边同时积分，即$\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{x}$。
    • 计算$\int \frac{dy}{y \ln y}$：
      令$u = \ln y$，则$du=\frac{1}{y}dy$，那么$\int \frac{dy}{y \ln y}=\int \frac{du}{u}$。
      根据积分公式$\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\int \frac{du}{u}=\ln|\ln y|+C_1$。
    • 计算$\int \frac{dx}{x}$：
      根据积分公式$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C_2$。
      所以$\ln |\ln y| = \ln |x| + C$（$C = C_2 - C_1$为任意常数）。
  3. 化简通解：
    对$\ln |\ln y| = \ln |x| + C$进行化简。
    根据对数的性质，$C$可以写成$\ln C_1$（$C_1 = e^C$），则$\ln |\ln y| = \ln |x| + \ln C_1=\ln(C_1|x|)$。
    因为对数函数是单调的，所以$|\ln y| = C_1 |x|$。
    去掉绝对值符号，可得到$\ln y = Cx$（$C$为任意常数）。
    两边同时取指数，可得$y = e^{Cx}$。