题目
(10分) 求解微分方程(y^4-3x^2)dy+xydx=0.
(10分) 求解微分方程$(y^{4}-3x^{2})dy+xydx=0$.
题目解答
答案
将原方程改写为：
$$
\frac{dx}{dy} - \frac{3x}{y} = -\frac{y^3}{x}
$$
令 $z = x^2$，则 $\frac{dz}{dy} = 2x\frac{dx}{dy}$，代入得：
$$
\frac{dz}{dy} - \frac{6z}{y} = -2y^3
$$
积分因子为 $\mu(y) = y^{-6}$，乘以方程两边：
$$
\frac{d}{dy}\left(y^{-6}z\right) = -2y^{-3}
$$
积分得：
$$
y^{-6}z = y^{-2} + C
$$
解得：
$$
z = y^4 + Cy^6
$$
即通解为：
$$
\boxed{x^2 = y^4 + Cy^6}
$$
解析
考查要点：本题主要考查微分方程的解法，特别是伯努利方程的处理方法。需要将原方程转化为标准伯努利方程形式，通过变量代换将其转化为线性微分方程，再利用积分因子法求解。
解题核心思路：
- 整理方程：将原方程改写为关于$\frac{dx}{dy}$的显式表达式，观察其是否符合伯努利方程的形式。
- 变量代换：通过令$z = x^2$，将方程转化为关于$z$的线性微分方程。
- 积分因子法：求解线性微分方程，得到通解后代回原变量$x$。
破题关键点：
- 识别伯努利方程结构：方程右侧出现$\frac{1}{x}$项，提示使用伯努利方程的解法。
- 正确选择代换变量：通过$z = x^2$消去非线性项，简化方程形式。
步骤1：整理方程为伯努利方程形式
原方程：
$(y^4 - 3x^2)dy + xydx = 0$
将方程改写为：
$xy \frac{dx}{dy} = -(y^4 - 3x^2)$
两边除以$xy$得：
$\frac{dx}{dy} - \frac{3x}{y} = -\frac{y^3}{x}$
此时方程符合伯努利方程形式：
$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)x^n \quad (n = -1)$
步骤2：变量代换消去非线性项
令$z = x^2$，则$\frac{dz}{dy} = 2x \frac{dx}{dy}$。代入原方程：
$\begin{aligned}\frac{dz}{dy} - \frac{6z}{y} &= -2y^3\end{aligned}$
此时方程转化为关于$z$的线性微分方程。
步骤3：求解线性微分方程
积分因子：
$\mu(y) = e^{\int -\frac{6}{y} dy} = y^{-6}$
方程两边乘以积分因子：
$\frac{d}{dy}\left(y^{-6}z\right) = -2y^{-3}$
积分得：
$y^{-6}z = \int -2y^{-3} dy + C = y^{-2} + C$
解得：
$z = y^4 + Cy^6$
代回$z = x^2$，得通解：
$x^2 = y^4 + Cy^6$