题目
[题目]-|||-lim _(narrow infty )dfrac (1)(n)[ sqrt (1+cos dfrac {pi )(n)}+sqrt (1+cos dfrac {2pi )(n)}+... +sqrt (1+cos dfrac {npi )(n)}] -|||-= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：将问题转化为求和形式
原式可以写成求和形式：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\sqrt {1+\cos \dfrac {k\pi }{n}}$。
步骤 2：将求和形式转化为积分形式
根据定积分的定义，当$n$趋向于无穷大时，求和形式可以转化为积分形式：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\sqrt {1+\cos \dfrac {k\pi }{n}} = \int _{0}^{1}\sqrt {1+\cos \pi x}dx$。
步骤 3：计算积分
计算积分$\int _{0}^{1}\sqrt {1+\cos \pi x}dx$，首先利用三角恒等式$\cos \pi x = 1 - 2\sin^2(\frac{\pi x}{2})$，得到$\sqrt {1+\cos \pi x} = \sqrt {2}\sin \dfrac {\pi x}{2}$。因此，原积分变为$\int _{0}^{1}\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi x}{2}dx$。计算该积分，得到$\dfrac {2\sqrt {2}}{\pi }{\sin }^{2}x{\int }_{0}^{1}=\dfrac {2\sqrt {2}}{\pi }$。
原式可以写成求和形式：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\sqrt {1+\cos \dfrac {k\pi }{n}}$。
步骤 2：将求和形式转化为积分形式
根据定积分的定义，当$n$趋向于无穷大时，求和形式可以转化为积分形式：$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\sum _{k=1}^{n}\sqrt {1+\cos \dfrac {k\pi }{n}} = \int _{0}^{1}\sqrt {1+\cos \pi x}dx$。
步骤 3：计算积分
计算积分$\int _{0}^{1}\sqrt {1+\cos \pi x}dx$，首先利用三角恒等式$\cos \pi x = 1 - 2\sin^2(\frac{\pi x}{2})$，得到$\sqrt {1+\cos \pi x} = \sqrt {2}\sin \dfrac {\pi x}{2}$。因此，原积分变为$\int _{0}^{1}\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi x}{2}dx$。计算该积分，得到$\dfrac {2\sqrt {2}}{\pi }{\sin }^{2}x{\int }_{0}^{1}=\dfrac {2\sqrt {2}}{\pi }$。