[题目]-|||-lim _(narrow infty )dfrac (1)(n)[ sqrt (1+cos dfrac {pi )(n)}+sqrt (1+cos dfrac {2pi )(n)}+... +sqrt (1+cos dfrac {npi )(n)}] -|||-= __

考查要点：本题主要考查数列极限转化为定积分的方法，以及利用三角恒等式化简被积函数的能力。

解题核心思路：

1. 识别Riemann和结构：观察到题目中的求和形式$\frac{1}{n}\sum$与定积分的Riemann和形式$\int_a^b f(x)dx$相似，其中$\frac{1}{n}$对应$dx$，$\frac{k}{n}$对应积分变量$x$。
2. 构造被积函数：将求和项$\sqrt{1+\cos\frac{k\pi}{n}}$转化为函数$f\left(\frac{k}{n}\right)$，从而确定积分区间和被积函数。
3. 三角恒等式化简：利用$1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$简化被积函数，进一步计算定积分。

破题关键点：

• 正确识别求和项的通项，排除题目排版可能存在的干扰（如原题中第一个项的写法可能有误）。
• 灵活应用三角恒等式，将根号表达式转化为更易积分的形式。

步骤1：将求和转化为定积分
原式为：
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\cos\frac{k\pi}{n}}$
令$x = \frac{k}{n}$，则当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f(x)dx$。因此，原式可转化为：
$\int_0^1 \sqrt{1+\cos(\pi x)} \, dx$

步骤2：化简被积函数
利用三角恒等式$1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$，得：
$\sqrt{1+\cos(\pi x)} = \sqrt{2\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)} = \sqrt{2} \left|\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right|$
由于$x \in [0,1]$时，$\frac{\pi x}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \geq 0$，故绝对值可去掉，被积函数简化为：
$\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$

步骤3：计算定积分
积分变为：
$\sqrt{2} \int_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx$
令$u = \frac{\pi x}{2}$，则$du = \frac{\pi}{2}dx$，积分上下限变为$u=0$到$u=\frac{\pi}{2}$，代入得：
$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos u \, du = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\pi} \left[\sin u\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\pi} \cdot (1 - 0) = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$