题目
16.（2.0分）矩阵(}1&2&3&40&2&1&00&0&0&0)的秩为____。
16.（2.0分）矩阵$\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\0&2&1&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$的秩为____。
题目解答
答案
为了确定矩阵$\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\0&2&1&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)$的秩，我们需要找到矩阵中线性独立的行或列的数量。一个矩阵的秩也等于该矩阵的行阶梯形中非零行的数量。
给定的矩阵是：
\[
\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\0&2&1&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right)
\]
这个矩阵已经处于行阶梯形，因为：
1. 第一个非零元素在第二行（即2）位于第一行第一个非零元素（即1）的右侧。
2. 第三行全为零。
在行阶梯形中，非零行的数量就是矩阵的秩。这里，我们有两条非零行：
\[
\left(\begin{matrix}1&2&3&4\end{matrix}\right) \quad \text{和} \quad \left(\begin{matrix}0&2&1&0\end{matrix}\right)
\]
因此，矩阵的秩为2。
答案是$\boxed{2}$。
解析
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数，也可以理解为矩阵化为行阶梯形后非零行的数量。本题的矩阵已经给出行阶梯形形式，直接观察非零行的数量即可快速求解。
关键点：
- 确认矩阵是否为行阶梯形（各行首非零元素逐右，零行在下）。
- 统计非零行的数量，即为矩阵的秩。
给定矩阵：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\0 & 2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
-
判断行阶梯形：
- 第一行首非零元素在第1列，第二行首非零元素在第2列，第三行全为零。
- 满足行阶梯形的定义。
-
统计非零行：
- 第一行：非零行。
- 第二行：非零行。
- 第三行：全零行，不计入。
- 非零行总数为2。
因此，矩阵的秩为2。