4.试确定积分区域D,使二重积分 iint (1-2(x)^2-(y)^2)dxdy 达到最大值.

考查要点：本题主要考查二重积分的最大值问题，关键在于理解被积函数的符号对积分结果的影响。

解题核心思路：
要使二重积分 $\iint_D (1-2x^2-y^2) \,dx\,dy$ 最大化，需确保积分区域 $D$ 包含所有使被积函数非负的点，同时排除所有使被积函数为负的点。此时积分仅累加正的部分，避免负值抵消。

破题关键点：

1. 确定被积函数非负的区域：解不等式 $1-2x^2-y^2 \geq 0$，得到椭圆方程 $2x^2 + y^2 \leq 1$。
2. 选择积分区域：当 $D$ 恰好为该椭圆所围闭区域时，积分值最大。

步骤1：分析被积函数的符号
被积函数为 $f(x,y) = 1 - 2x^2 - y^2$。当 $f(x,y) \geq 0$ 时，点 $(x,y)$ 对积分有正贡献；当 $f(x,y) < 0$ 时，积分会减少。

步骤2：求解非负区域
解不等式 $1 - 2x^2 - y^2 \geq 0$，变形得：
$2x^2 + y^2 \leq 1.$
此为椭圆方程，长轴在 $y$ 轴方向，半长轴为 $1$，半短轴为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。

步骤3：确定积分区域
若积分区域 $D$ 包含椭圆 $2x^2 + y^2 \leq 1$ 内的所有点，则积分仅累加正项；若超出该椭圆，积分会包含负项，导致整体值减小。因此，最大值出现在 $D$ 为该椭圆闭区域时。