题目

判断题(每题2分,选择一项正确的答案)1.函数y = x^3在x = 0处取得极小值。()bigcirc正确bigcirc错误

判断题(每题2分,选择一项正确的答案) 1.函数$y = x^3$在$x = 0$处取得极小值。() $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

函数 $ y = x^3 $ 的导数为 $ y' = 3x^2 $，在 $ x = 0 $ 处导数为零。但导数在 $ x = 0 $ 两侧均为正（$ y' > 0 $），说明函数在该点两侧均单调递增，未改变单调性。此外，二阶导数 $ y'' = 6x $ 在 $ x = 0 $ 处为零，无法判断极值。因此，$ x = 0 $ 不是极值点。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

本题考查函数极值的判定方法。解题思路是先求出函数的一阶导数，判断函数在$x = 0$处是否满足极值点的必要条件，再通过分析一阶导数在$x = 0$两侧的符号来判断函数单调性是否改变，若单调性未改变则该点不是极值点；也可以通过求二阶导数，根据二阶导数的性质进一步判断。

  1. 求一阶导数：
    对于函数$y = x^3$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得其导数$y^\prime=(x^3)^\prime = 3x^2$。
  2. 判断$x = 0$处一阶导数的值：
    将$x = 0$代入一阶导数$y^\prime = 3x^2$中，可得$y^\prime|_{x = 0}=3\times0^2 = 0$，这满足极值点的必要条件，但不能就此确定$x = 0$是极值点。
  3. 分析一阶导数在$x = 0$两侧的符号：
    当$x\lt0$时，$x^2\gt0$，所以$y^\prime = 3x^2\gt0$，这表明函数$y = x^3$在$(-\infty,0)$上单调递增。
    当$x\gt0$时，$x^2\gt0$，所以$y^\prime = 3x^2\gt0$，这表明函数$y = x^3$在$(0,+\infty)$上也单调递增。
    由于函数在$x = 0$两侧均单调递增，单调性未发生改变，所以$x = 0$不是极值点。
  4. 通过二阶导数进一步判断：
    对一阶导数$y^\prime = 3x^2$再次求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得二阶导数$y^{\prime\prime}=(3x^2)^\prime = 6x$。
    将$x = 0$代入二阶导数$y^{\prime\prime} = 6x$中，可得$y^{\prime\prime}|_{x = 0}=6\times0 = 0$。
    当二阶导数在某点的值为$0$时，无法根据二阶导数的性质判断该点是否为极值点，结合前面一阶导数的分析，可确定$x = 0$不是极值点。