题目
判断：假设一个曲线形构件的位置在xoy面内的曲线L：y=sinx，x∈[0,π]上，它的线密度为ρ(x,y)，则该曲线形构件的质量M可以表示为int_(L)rho(x,y)sin xds.（）A. 对B. 错
判断：假设一个曲线形构件的位置在xoy面内的曲线L：y=sinx，x∈[0,π]上，它的线密度为ρ(x,y)，则该曲线形构件的质量M可以表示为$\int_{L}\rho(x,y)\sin xds$.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解曲线质量的计算公式
曲线形构件的质量 $ M $ 由其线密度 $ \rho(x, y) $ 沿曲线 $ L $ 的第一类曲线积分给出。第一类曲线积分的公式为： \[ M = \int_L \rho(x, y) \, ds \] 其中 $ ds $ 是曲线的弧长元素。
步骤 2：计算弧长元素 $ ds $
对于由 $ y = f(x) $ 给出的曲线，其中 $ x \in [a, b] $，弧长元素 $ ds $ 可以表示为： \[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 在给定的问题中，曲线 $ L $ 由 $ y = \sin x $ 给出，其中 $ x \in [0, \pi] $。因此，弧长元素 $ ds $ 为： \[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{d}{dx} \sin x \right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx \]
步骤 3：计算曲线形构件的质量 $ M $
曲线形构件的质量 $ M $ 因此为： \[ M = \int_0^\pi \rho(x, \sin x) \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx \] 然而，给定的表达式为： \[ \int_L \rho(x, y) \sin x \, ds \] 这个表达式中包含一个额外的 $ \sin x $ 因子，这在质量计算公式中是不正确的。正确的质量表达式应该是： \[ \int_L \rho(x, y) \, ds \] 因此，给定的表达式是错误的。
曲线形构件的质量 $ M $ 由其线密度 $ \rho(x, y) $ 沿曲线 $ L $ 的第一类曲线积分给出。第一类曲线积分的公式为： \[ M = \int_L \rho(x, y) \, ds \] 其中 $ ds $ 是曲线的弧长元素。
步骤 2：计算弧长元素 $ ds $
对于由 $ y = f(x) $ 给出的曲线，其中 $ x \in [a, b] $，弧长元素 $ ds $ 可以表示为： \[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 在给定的问题中，曲线 $ L $ 由 $ y = \sin x $ 给出，其中 $ x \in [0, \pi] $。因此，弧长元素 $ ds $ 为： \[ ds = \sqrt{1 + \left( \frac{d}{dx} \sin x \right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx \]
步骤 3：计算曲线形构件的质量 $ M $
曲线形构件的质量 $ M $ 因此为： \[ M = \int_0^\pi \rho(x, \sin x) \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx \] 然而，给定的表达式为： \[ \int_L \rho(x, y) \sin x \, ds \] 这个表达式中包含一个额外的 $ \sin x $ 因子，这在质量计算公式中是不正确的。正确的质量表达式应该是： \[ \int_L \rho(x, y) \, ds \] 因此，给定的表达式是错误的。