10.简答题计算oint_(L)x^2ydx-xy^2dy，其中L为正向圆周x^2+y^2=a^2所围成的闭区域.

为了计算曲线积分 $\oint_{L} x^2 y \, dx - xy^2 \, dy$，其中 $L$ 是正向圆周 $x^2 + y^2 = a^2$，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $L$ 和由 $L$ 围成的平面区域 $D$，如果函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，那么 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 在这个问题中，我们有 $P(x, y) = x^2 y$ 和 $Q(x, y) = -xy^2$。首先，我们需要计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-xy^2) = -y^2, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2. \] 因此，格林公式中的被积函数为 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -y^2 - x^2 = - (x^2 + y^2). \] 现在，我们可以将曲线积分转化为二重积分: \[ \oint_{L} x^2 y \, dx - xy^2 \, dy = \iint_{D} - (x^2 + y^2) \, dA = - \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \] 区域 $D$ 是圆盘 $x^2 + y^2 \leq a^2$。为了计算这个二重积分，我们使用极坐标变换 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。在极坐标下，$x^2 + y^2 = r^2$，且面积元素 $dA = r \, dr \, d\theta$。积分区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq a$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。因此，二重积分变为 \[ - \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta. \] 我们先对 $r$ 积分: \[ \int_{0}^{a} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4}. \] 然后对 $\theta$ 积分: \[ - \int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = - \frac{a^4}{4} \int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta = - \frac{a^4}{4} \cdot 2\pi = - \frac{\pi a^4}{2}. \] 因此，曲线积分的值为 \[ \boxed{-\frac{\pi a^4}{2}}. \]