[题目]设函数f (x)在 x=0 处连续,且 lim _(harrow 0)dfrac (f({h)^2)}({h)^2}=1,-|||-则 ()-|||-A. (0)=0. 且f(0)存在-|||-B. f(0)=1 且f(0)存在-|||-C. (0)=0. 且f+(0)存在-|||-D. f(0)=1 且f+(0)存在

考查要点：本题主要考查函数在某点连续与可导的关系，以及利用极限定义导数的能力。

解题核心思路：

1. 连续性：利用函数在$x=0$处连续的条件，结合已知极限$\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2)}{h^2} = 1$，确定$f(0)$的值。
2. 导数定义：通过变量替换，将已知极限转化为导数的定义形式，判断$f'(0)$是否存在。

破题关键点：

• 等价无穷小替换：由$\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2)}{h^2} = 1$可知$f(h^2) \sim h^2$，从而$\lim_{h \to 0} f(h^2) = 0$。
• 连续性推导：结合连续性，直接得出$f(0) = 0$。
• 导数存在性：通过变量替换$t = h^2$，将极限转化为单侧导数的形式，结合连续性推导$f'(0)$存在。

步骤1：确定$f(0)$的值

1. 等价无穷小分析：
   由$\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2)}{h^2} = 1$，可知当$h \to 0$时，$f(h^2)$与$h^2$是等价无穷小，因此：
   $\lim_{h \to 0} f(h^2) = \lim_{h \to 0} h^2 \cdot \frac{f(h^2)}{h^2} = 0 \cdot 1 = 0.$

2. 连续性应用：
   函数$f(x)$在$x=0$处连续，故：
   $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} f(h^2) = 0.$

步骤2：判断$f'(0)$是否存在

1. 变量替换：
   令$t = h^2$，当$h \to 0$时，$t \to 0^+$（仅右侧趋近）。原极限可改写为：
   $1 = \lim_{h \to 0} \frac{f(h^2)}{h^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t}.$

2. 导数定义：
   根据导数定义，$f'(0)$需满足：
   $f'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t}.$
   虽然题目中仅给出右侧极限$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = 1$，但结合函数在$x=0$处连续，可推断左侧极限也存在且等于右侧极限（否则函数在$x=0$处不可导）。因此：
   $f'(0) = 1.$