2.证明:可数点集的外测度为零.

考查要点：本题主要考查外测度的定义及可数集的测度性质。关键在于理解如何利用可数集的结构，通过构造适当的开覆盖来证明其外测度为零。

解题核心思路：

1. 外测度定义：外测度是覆盖集合所有可能开区间族中区间长度（或体积）之和的下确界。
2. 可数集的特性：可数集中的每个点可用任意小的开区间覆盖，且可数个“小量”之和仍可保持有限。
3. 构造覆盖：对每个点分配一个长度（或体积）为 $\frac{\varepsilon}{2^i}$ 的开区间，总和为 $\varepsilon$，从而通过 $\varepsilon$ 的任意性得外测度为零。

步骤1：明确外测度定义

外测度 $m^*(E)$ 是覆盖 $E$ 的所有开区间族 $\{I_i\}$ 的长度（或体积）之和的下确界，即：
$m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^\infty |I_i| \, \bigg| \, E \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty I_i \right\}.$

步骤2：构造覆盖

设 $E = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ 为可数点集。对任意 $\varepsilon > 0$，对每个点 $x_i$，取边长为 $a_i = \sqrt[p]{\frac{\varepsilon}{2^i}}$ 的开区间 $I_i$（在 $\mathbb{R}^p$ 中为超立方体），使得 $x_i \in I_i$。

步骤3：计算体积之和

每个 $I_i$ 的体积为 $|I_i| = a_i^p = \frac{\varepsilon}{2^i}$，总和为：
$\sum_{i=1}^\infty |I_i| = \sum_{i=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^i} = \varepsilon \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} = \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon.$

步骤4：确定外测度

由于存在覆盖使得总和为 $\varepsilon$，故 $m^*(E) \leq \varepsilon$。因 $\varepsilon$ 任意小，得 $m^*(E) = 0$。